Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Einundzwanzigstes Kapitel: Die Traktrix-Kurven. 571
Dies ist die Differentialgleichung der Evolvente. Um sie zu integrieren, wollen wir Polarkoordinaten p, w) einführen, und damit verwandeln wir sie in die folgende
O" — 2/ - 2 o l
oder aber _ a2.
Daraus folgt, wenn =- + 1
16
Q - =' s,= a,
~'2 02 '
folglich (p-sa)2= - 12( +
oder auch/(o )2 2,
oder schliefslich I --... (25)
Qy(Q - sa)l2 _ Z2
womit auch die Variabelen getrennt sind. Setzt man nun
s - sa =- z,... (26)
I.dz
so wird (25) zu do ) -
( a+i) 1/z2 -
oder wenn man setzt ] — - u,..... (27)
2 --
- 2dt
- 1- 1
weshalb dann c -- 2d. (28)
— ~. (28)
Wird nun z aus (26) und (27) eliminiert, so bekommt man
= a+2 + )..... (29)
Die Gleichungen (28) und (29) liefern o und O als Funktionen der
unabhängigen Variabelen u, und bieten daher die gesuchte analytische
Darstellung der Kurve; wir können hinzufügen, dafs die in (28) angegebene Integration ausführbar ist und folgendes Resultat ergiebt:
D) - -- wenn a --
1U~ -- ~
o = E + - arc tg C, a<.l (30)
+ 1 log ca + Zu >,
2 uc, l +- E lu -u. 7I
FEq - lo g - ao + +l',, a>lJ
wo D, E, F die Integrationskonstanten sind, die man im allgemeinen
gleich Null annehmen kann. Mit Hilfe der gefundenen analytischen