Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

570 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
Fig. 129, wo nur die eine Hälfte der Kurve vollständig gezeichnet
ist) u. s. w. Beachten wir auch noch, dafs im Falle = a, A= 0
man als Polargleichung der Traktrix findet
co - arc tg Vial - -
Q Q
A. Bordoni, dem man die oben dargelegte elegante Rechnung verdankt1), ist aufserdem auf einige sehr einfache Betrachtungen gestofsen,
die in einer wirklich unerwarteten Art und Weise eine Differenzialgleichung für die Evolvente der betrachteten Traktrix liefern, die
leicht integrierbar ist; wir wollen diese mit möglichster Präzision
wiedergeben.
Es seien t und u die Koordinaten desjenigen Punktes der Evolvente, welcher dem Punkte (x, y) der Traktrix entspricht. Wir wollen
alle diese Gröfsen als Funktionen einer und derselben unabhängigen
Variabelen auffassen; alsdann haben wir
= - x,- =y+-..... (23)
Eliminieren wir x und y aus diesen Gleichungen und aus (16)- die
nötigenfalls differenziert wird - so bekommen wir die Differenzialgleichung der Evolvente. Differenzieren wir nun (16), so bekommen
wir (x + yy' + ls)s'3 =- l(xy'- y)y";
Sf2
wenn man nun in diese und die erste von (23) den Wert y"
setzt, der aus der zweiten von (23) hervorgeht, so gelangt man zu
den Gleichungen
(x- yy' + ls') s'( - y) l(xy '- y), t+ y' -x- yy 0,,y - t 1 t -uy'.
oder auch x t + ' + t-1- y'
+t'y 4-q s= t-uy'
Setzen wir diese Werte für x und y in (16) ein, so erhalten wir
t + -u + 2ts' t + l + ' ( ) n
_ y - t- \qy -- u.
Bekanntlich ist nun gemäfs der Theorie der Evoluten y' - -,
daher, wenn der Bogen der Evolute mit o' bezeichnet wird,
t t, t-t'+ u, ttt + U'2 6
t + tb== -, - ty - 7 $ - - -
und die vorige Gleichung wird nun
+t-+-21a'_ t- \'U+/' )=2. + (24)
1) S. die Abh. Sutl nuovo tornio immaginato dal Sign. Ca'rlo Parea (Men.
della Soc. Ital. delle Scienze, XVIII, 1820).