Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Einundzwanzigstes Kapitel: Die Traktrix-Kurven. 569
ffihren wir jetzt Polarkoordinaten Q, co ein, so wird G1. (16) zu
d d 21 + dQ 9
aeo 1/2 (a2 + z2) 92 - o4 -.', (18
oder auch (1 - d=1/2( (18)
(02 - n~2)
und damit ist die Trennung der Variabelen erreicht. Um die Rechnung weiter zu führen, setzen wir
2 a= a2 + l2 + 2Cl cos ~... (19)
und verwandeln dadurch die vorige Gleichung in folgende
a2lcos R
(a --- ( 2 - 2 al cos )( - a cos/) 7
1. 1 dL n2 dp
oder dcl- 2 de f 2-2 =__d (20)
~. a 1 + C 4al af —12 + '
-+cos.t-_ + cos
a
Setzen wir nun tg- t-= 0, so wird Gleichung (19)
J-/^2+l2+2al t:,..... (21)
während die Gleichung (20) sich verwandelt in
d d c 21 do
do(3 -- 2 121
1 (a + (a - i)2o(02 (a + 1) - (a - 1)2
Wird die Integration ausgeführt, so erhält man auf der rechten Seite
verschiedene Resultate je nach dem Werte von a, und zwar
arc tg 0 -0 - A wenn a= 1
= - arctg (a+1 0 + arc tg 0 + B a < (22)
(a + z) + (Ca- ) n + a,
210 1 a+l+ nO
arc tg -log + 0 a > l
( e (a + l) +(a ) - n 1)g a + l- a>
wo A, B, C die beliebigen, durch die Integration eingeführten Konstanten sind, die man in jedem Falle auch gleich Null annehmen darf.
Die Gleichungen (21) und (22) geben für alle Fälle die Polarkoordinaten, co als Funktionen der unabhängigen Variabelen 0, liefern daher die
analytische Darstellung der Kurve, insbesondere können sie zur Bestimmung ihrer Gestalt dienen. So zeigt uns z. B. die Gleichung (21),
dafs die Kurve ganz innerhalb des Kreisringes mit dem Centrum 0 und
den Radien a + 1 und Ia -1 liegt; dagegen lassen die Gleichungen (22)
erkennen, (vorausgesetzt, dafs die Konstanten A, B, C - 0) dafs sie
symmetrisch in Bezug auf die Polaraxe ist, indem beim Wechsel des
Vorzeichens von, co gleichfalls wechselt, während p unverändert
bleibt; die dritte der Gleichungen (22) zeigt, wenn 02 - a+ so ist
Q J /a2 - = n und uc == oo; daher ist der Kreis mit dem Centrum 0 und dem Radius n ein asymptotischer für die Kurve (s. Taf. XVI,