Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Drittes Kapitel: Cirkulare Kurven dritter Ordnung. 33
eine Asymptote der Kurve (4) dar. Diese Asymptote schneidet übrigens
die Kurve in einem Punkte A, dessen Koordinaten sind
2af -c
x=- 2, y=- a..... (6)
und der ein Haupt-Punkt der Kurve heifst. Mediane derselben
nennt man die durch den Punkt M, den Mittelpunkt der Strecke FA,
parallel zur Asymptote gezogene Gerade; deren Gleichung ist daher
y +-2 =o......... (7)
Man beachte auch, dafs Gleichung (4) als das Resultat der Elimination
von r2 aus folgenden beiden Gleichungen angesehen werden kann
X + y2= r, (y + a)(r2 + 2/) + 2g (x 2 ) 0.
Dies in geeigneter Weise interpretiert, liefert folgenden Satz von
Czuber1): Jede cirkulare Kurve dritter Ordnung läfst sich erzeugen
durch ein Strahlbüschel und ein projektives Büschel konzentrischer
Kreise; der Scheitel des Strahlbiischels ist der Hauptpunkt, und
das gemeinsame Centrum aller erzeugenden Kreise der aufserordentliche Brennpunkt der Kurve. Daraus folgt als Corollar folgender
Satz von Eckardt2): Jede durch einen Hauptpunkt einer cirkularen
Kurve dritter Ordnung gezogene Gerade trifft aufserdem die Kurve
in zwei Punkten, die gleichen Abstand vom aufserordentlichen Brennpunkte haben.
22. Bemerkenswert ist der Fall, dafs die Kurve dritter Ordnung
durch ihren aufserordentlichen Brennpunkt geht, oder auch, was dasselbe ist, dafs die beiden Kreispunkte auf ihr,konjugiert" sind; dieser
wurde von Schröter3) und Durege4) untersucht infolge der Bemerkung von Salmon5), dafs eine solche Kurve der Ort der Brennpunkte
der Kegelschnitte einer Schar ist; daher der Name Fokalkurve, den
sie in der Geometrie führt; in der Kinematik dagegen, wo sie eine
wichtige Rolle spielt, heifst sie Kreispunktkurve6). Im vorliegen1) Die Kurven dritter und vierter Ordnung, welche durch die unendlich fernen
Kreispunkte gehen (Zeitschr. f. Math. XXXII, 1887.)
2) Vgl. D u re g e, ber eine leichte Konstruktion der CKurve dritter Ordnung,
welche durch die imaginären Kreispun7cte geht (Zeitschr. f. Math. XIV, 1869; s. auch
X, 1865).
3) Uber eine besondere Kurve dritter Ordnung und eine einfache Eri eugungsart der allgemeinen Kurve dritter Ordnung (Math. Ann. V, 1872).
4) Über die Kurve dritter Ordnung, welche den geometrischen Ort der Brennpunkte einer Kegelschnittschar bildet (Math. Ann. V, 1872).
5) Analytische Geometrie der Kegelschnitte, deutsch v. Fiedler. 2. Aufl.
S. 355 u. 397.
6) Vgl. R. Müller, Konstruktion der Fokalkciurve aus sechs gegebenen Punklten
(Zeitschr. f. Math. XL, 1895).
Loria, Ebene Kurven.