Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Neunzehntes Kapitel: Die Kurven W von Klein und Lie. 557
lim 2 lim (2) = O, lim =lim =
= =o Xo h_ c0 ao/ i= C XO A = == aO/
A:: o Z= -m Xo =
lim x= lim ( ) 0, m = lim 0,
i=- c x2 i=+- \ao/ 2=-or x2 -=- a
und dies zeigt: Die Dreieckspotenzialkurve geht durch die beiden
Ecken des Fundamentaldreiecks, die der gröfsten und der kleinsten
Seite gegeniüberliegen. Sie berührt in diesen Punkten die Seite von
der mittleren Länge ). - Diese Eigenschaften mögen geügegen, die
Wichtigkeit der betrachteten Kurve für die moderne Geometrie des
Dreiecks klarzulegen.
Eine andere bemerkenswerte Kategorie der Kurven W wird gebildet von denjenigen Linien, die in rechtwinkligen Koordinaten durch
die Gleichung =..... (10)
dargestellt werden unter der Bedingung, dafs
+ = 1........ (11)
Sie erhielten denNamen polytropische Kurven, welcher von Zeuner
in seiner klassischen Technischen Thermodynamik 1887-89 zunächst den
Kurven xny = C gegeben war. Einige interessante Eigenschaften derselben sollen hier mitgeteilt werden2). Die beiden Koordinataxen sind
die Asymptoten der Kurve. Die allgemeine Gleichung der Tangente
lautet
Y- y + (X- x) - 0
daher wird der Winkel r der Tangente mit der x-Axe gegeben durch
ly
tg -..... (12)
ttx
Sind nun (Taf. XVI, Fig. 126) die Schnitte der Tangente mit den
Koordinataxen AL und AÄ2, so findet man alsbald
OA, OA...... (13)
und da man wegen (11) setzen kann:; = cos2, - = sin2 a,. (14)
so hat man weiterhin
OA= x OA=. (15)
1 cos2 a 2 sin2 a '
und wenn man die Strecke A1A2 mit t bezeichnet
x, 22 y 2 Y'
t=_ - ' ~5 -2 +- 7 - cos4a + s- 4.... (15)
1) Cesaro, Lezioni di geomnetria intrinseca (Napoli 1896) S. 104-106.
2) F. Ko s c h, Normale und Krümmrungsmittelpunkt der polytropischen.CKurven
(Zeitschrift f. Math. XLV, 1900).