Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

556 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
Transformationen immer wieder selbst erzeugt'), und kann (und ist
auch schon) benutzt werden, neue Eigenschaften derselben zu entdecken.
Unter den Kurven W findet sich ferner eine neue Kurve, die der
Untersuchung wert erachtet und mit einem besonderen Namen belegt
wurde: in barycentrischen Koordinaten X, x", x, wird sie durch die
Gleichung _ _ i___ (8)
a/ - A A~. * * * ~ * * * (
ao ai a2
dargestellt, wo 2A ein Parameter, und ao, ai, a die Seiten des Fundamentaldreiecks sind; nach einem Vorschlage von G. de Longchamps 2)
heifst sie die Dreieckspotentialkurve (Potentielle triangulaire).
Zum Beweise, dafs sie eine Kurve W ist, nehmen wir an, dafs a0 > a, > a2,
und setzen a ao ao
log- = - CoC, log log
weshalb zwischen den Konstanten c noch die Relation co - c, +- c2= 0
besteht. Aus (8) folgt nun
log () -=- 2c2, log(s) = ic,
und durch Elimination von /l
e, log ()+ C2 log (= 0
oder xx1. =- X1+2,.(9)
oder, da c q-+ c, - c2 = 0,
xcox. X c. X.C.. (9')
Da nun diese vom Typus (6) ist, so ist der ausgesprochene Satz bewiesen. - Schreibt man die Gleichung (9) in folgender Weise:
ycf! cx e
2. X2 __ C0 C2
so sieht man, dafs die Dreieckspotentialkurve eine algebraische Kurve
wird, wenn eines der Verhältnisse zwischen den Konstanten c ein
rationales ist. - Im allgemeinen zeigen die Gleichungen (8), dafs die
Dreieckspotentialkurve durch viele bemerkenswerte Punkte- des Fundamentaldreiecks hindurchgeht: für / == 0 bekommen wir den Schwerpunkt desselben, für = —1 den Mittelpunkt des Inkreises, für Z=-=2
den Lemoine'schen Punkt u. s. w. Man beachte ferner, dafs aus
aQ > a, > a2, sich ergiebt
1) Zum erstenmal dargelegt und ausführlich entwickelt in der oben angeführten Abhandlung von Klein und Lie.
2) S. die Abh. Sur la potentielle triangulaire (Math6sis VI, 1886)o