Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Neunzehntes Kapitel: Die Kurven W von Klein und Lie. 555
leicht läfst sich hieraus folgern, dafs jene die allgemeinsten von
dieser Beschaffenheit sind1).
Bezeichnen wir einen Kurvenpunkt (x, y) mit P, die Schnitte
der zugehörigen Tangente mit den Koordinataxen mit S, T und den
unendlich fernen Punkt derselben mit U und bezeichnen durch Accente
die Projektionen dieser Punkte auf Ox von dem unendlich fernen
Punkte von Oy aus, so haben wir
(PST U P) = (P' OU') 0, os) --
Folglich ist das Doppelverhältnis (PSTU) konstant, und verallgemeinern wir diese Eigenschaft durch Projektion für alle Kurven W,
so können wir sagen: Für jede Kurve w ist das Doppelverhältnis
eines Kurvenpunktes und der drei Schniittpunkte der zugehörigen
Tangente mit den Seiten des Fundamientaldreiecks konstant. Dieser
Satz begründet den Namen "Kurven W" (S. 553), sowie den,anharm onische Kurven", der von Halphen2) den hier betrachteten Kurven
beigelegt wurde; es giebt auch einen hierzu dualen Satz, da man
leicht erkennt, dafs die Tangentialgleichung der Kurve W dieselbe
Form hat, wie die Punktgleichung.
228. Unter den Kurven W giebt es eine spezielle, uns schon
bekannte: Die logarithmische Spirale (s. Nr. 192, Gl. (7)); in diesem
Falle liegen zwei von den Ecken des Fundamentaldreiecks in den
Kreispunkten, und die betrachteten projektiven Transformationen sind
Rotationen um die dritte Ecke. Diese fundamentale Bemerkung dient
zur Erklärung, wie diese Kurve sich durch eine so grofse Zahl von
1) Wir sagen "leicht", weil ein System mit den Charakteristiken t = 1,
v 1 durch eine Differenzialgleichung vom Typus (vgl. Nr. 171)
L(x dy - y dx) - Mdy - Ndx = 0
definiert werden kann, wo L, M, N lineare Funktionen der Koordinaten sind;
diese ist nach einer heute als klassisch geltenden, von Jacobi erfundenen
Methode integrierbar (Crelles Journ. XXIV; s. z. B. Boo le, Differeential Equations
4. Aufl. 1877, S. 85). - Die Untersuchung derjenigen Systeme, deren Charakteristiken v = 1, v 2 sind, ist ähnlicherweise gleichbedeutend mit der Integration der Differentialgleichung
Ap2+- Bpa +Ca 2+ Dp+E c+ F =- O, wo - -d und = —y-px,
ferner A,..., F lineare Funktionen der Koordinaten x, y sind. Sie wurde von
A. Lego u x ausgeführt (Etude analytique et yeometrique d'une famille des courbes
representee par une equation diff'eentielle du premier ordre. These, Paris 1878)
und führte zur Entdeckung der durch die Gleichung
x2 (X -+ a)n+ (y+ na)2
2 (y - a)- 2(n2_ )a2
dargestellten Kurven; diese sind offenbar algebraisch oder transscendent, jenachdem n rational ist oder nicht.
2) M. s. z. B. Etude seu les points singuliers des courbes algebriques planes
(Paris 1883) S. 53.