Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

546 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
und erhalten
x s - z 2 - z a log (2 a - z) + Const.
Integriert man nun zwischen x 0 und x = c, oder was dasselbe
ist wegen Gleichung (8), zwischen z - /a2 + b2 - a und = O, so
erhält man
lim (x —s) = /a+ b2- a + a log a +. (9)
Demnach strebt die Differenz zwischen einem Bogeni der log. Kurve
und seineir Projektion auf die Asymptote einem endlichen Grenzwerte zu, wenn der eine Endpunkt des Bogens sich unbegrenzt der
Asymptote nähert. In dem speziellen Falle a =b 1 liefert G1. (9)
lim(x- s)==/ - 1 + log/ —
wie zuerst P. Fufs gefunden hat1).
Die Frage nach der Bestimmung der Gestalt der log. Kurve fällt
zum Teil mit der Frage nach der Entscheidung, ob auch die negativen
Zahlen ihre Logarithmen haben, zusammen, und im Bejahungsfalle,
welcher Art dieselben seien, und diese Frage hat; wie bekannt, seit
Leibniz' Zeiten die Mathematiker beschäftigt. Unter den in dieser
Hinsicht gemachten Bemerkungen möge, wenigstens der Kuriosität
halber, die von Joh. Bernoulli gemachte Deduktion nicht unerwähnt bleiben, der aus der Beziehung d =d(-)- auf die Identität
x - x
log x = log (-x) schlofs; desgleichen möge bemerkt werden, dafs der
erwähnte Geometer hinzufügte: "unde vides curvam Logarithmicam
habere suam comparem ut ex. gr. Hyperbola"2). Die genannte Beweisführung ist verfehlt, nichtsdestoweniger wird oft angenommen, dafs
die Kurve, um die es sich hier handelt, aufser einem kontinuierlichen Zuge oberhalb der x-Axe einen diskontinuierlichen sog. punktierten auf der anderen Seite derselben habe3); setzt man nämlich in
Gleichung (6) x = 1-, so wird diese zu
m
y= —be n";
wenn nun n ungerade ist, so giebt die rechte Seite nur einen einzigen
reellen Wert, wenn aber n =- 2p, so hat y zwei gleiche aber ent1) Dasselbe Resultat scheint schon früher erhalten zu sein, und zwar von
Johann Albrecht, dem ältesten Sohne Leonhard Euler's: s. die Adversaria mathematica, veröffentlicht im I. Bde. von L. Eufleri Opera 1posttuma mathematica et
physica (Petropoli 1862).
2) Brief an Leibniz vom 25. Mai 1712 (Leibniz, ed. Gerhardt, III, S. 887).
3) Vgl. Salmon-Fiedler, Ebene Kurven, II. Aufl. (Leipzig 1882) S. 374;
W. Heymann, Die Logarithmen negativer Zahlen bei der Auflösung transscendenter Gleichungen (Hoffmann's Zeitschr. f. d. math. Unterr. XXXII, 1901, Heft 3).