Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Drittes Kapitel: Cirkulare Kurven dritter Ordnung. 31
Von den rationalen Kurven dritter Ordnung sind rektifizierbar:
I. Algebraisch: 1) diejenigen, welche in rechtwinkligen kartesischen Koordinaten, folgender parametrischen Darstellung fähig sind:
13 __ 3 3192- 1
x = —a c-, y= ~ —; 2) die semikubischen Parabeln; 3) die
geraden und schiefen Cissoiden (Kap. 5 dieses Abschnittes).
II. Durch Funktionen vom Geschlecht 1, diejenigen, die eine
der folgenden Singularitäten aufweisen: 1) zwei Wendepunkte mit einer
isotropischen') Tangente im Endlichen; 2) eine Spitze im Endlichen
und Berührung mit der unendlich fernen Geraden; 3) eine Spitze und
einen Wendepunkt im Unendlichen; 4) Durchgang durch die cyklischen Punkte.
III. DurchFunktionen vomGeschlecht 2: 1) diejenigen, welche
eine Spitze im Endlichen haben oder 2) eine einfache Berührung mit
der unendlich fernen Geraden oder auch einen Doppelpunkt im Unendliehen.
Mit Berücksichtigung der Einzelheiten dieses Satzes ist der Leser
in den Stand gesetzt, die analytische Natur der Funktionen, von denen
die Rektifikation aller in diesem Abschnitte betrachteten Kurven abhängt, zu bestimmen.
Drittes Kapitel.
Cirkulare Kurven dritter Ordnung.2)
21. Eine cirkulare Kurve3) dritter Ordnung oder Kataspirica4) ist durch sieben oder sechs Punkte bestimmt, je nachdem
sie vom Geschlechte 1 oder 0 ist. Ihre Gleichung, bezogen auf ein
1) Man nennt bekanntlich isotropisch eine Gerade, wenn sie durch einen
cyklischen Punkt der Ebene geht.
2) Vgl. C. A. Bjerknefs, Sur une certaine classe de courbes de troisiele
ordre rapportees ä lignes droites, qui dependent de paranmetres donnes (Journ. f.
Math. LV, 1858); J. Casey, On bici-rcular qzuartics art. 90-115 (Irish Tranls.
XXIV, 1869); L. A. Strnad, Über Circulazrcuven dritten Grades. Progr. d.
Realsch. Königgrätz, 1883 (böhmisch); F. Fricke, Über ebene Kurven dritter
Ordnung, welche durch die imaginären ]Kreispunkte gehen (Diss. Jena 1898).
3) Die cirkularen Kurven werden mifsbräuchlich bisweilen cyklische
Kurven genannt, wodurch Verwechselungen mit Kreisrollkurven (vgl. Abschn.
VI, Kap. 9) herbeigeführt werden.
4) Eine von Laguerre benutzte Bezeichnung in dem Aufsatze Sur la
courbe enveloppe'e par les axes des coniques q(ui passent par quatre points donnes
(Nouv. Ann. 2e Serie, XVIII, 1879) um daran zu erinnern, dafs eine cirkulare
Kurve dritter Ordnung betrachtet werden kann als eine spirische linie mit unendlich fernem singulilren Brennpunkte. Vgl. Abschn. III, Kap. 4.