Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

17. Kapitel: Die logarithm. Kurve u. die hypergeometrische v. Wallis. 543
Wenn wir daher zugeben, dafs nur die Neper'schen Logarithmen in
Betracht kommen sollen, so können wir die (1) schreiben
= bog...... (3)
demnach ist Y
x=aeb )..... (4)
Hieraus folgt weiter, dafs
Y-y b_
X —x x
die Gleichung der Tangente im Punkte (x, y) ist. Wenn wir hierin
X= 0 setzen, so zeigt sich: Die Subtangente in Bezug auf die
y-Axe ist bei der logarithmischen Kurve konstant, nämlich — b;
es ist dies - wie leicht zu zeigen - eine für diese Kurve charakteristische Eigenschaft, die zuerst von E. Torricelli und dann von
Huygens2) bemerkt worden ist. Wenn man in (5) X und Y als gegeben ansieht, so zeigt sie: Die Berihrungspunkte der von einem
beliebigen Punkte an die logarithmische Kurve gezogenen Tangenten
liegen auf einem Kegelschnitte, der durch jenen Punkt geht; folglich gehört jede derartige Kurve einem System mit den Charakteristiken i =u 1, v 1 an.
Stellen wir uns ein räumliches kartesisches Koordinatensystem
vor mit den drei zueinandsr senkrechten Axen Ox, Oy, O, und
legen durch Ox eine beliebige Ebene a, so können wir die Punkte
derselben auf zwei Axen, die 0 als Anfangspunkt haben, beziehen,
auf Ox als Abscissenaxe und die Senkrechte in 0 dazu als Ordinatenaxe. Sind nun xl, y1 die Koordinaten eines Punktes Pt von a, x, y
die des Punktes P, welcher die Orthogonalprojektion von P auf die
xy-Ebene ist, so haben wir
Yli
a = -, x === -1 -a --- X1, y - cos a
wenn a der Winkel der Ebene a gegen die xy-Ebene ist. Betrachten
wir jetzt in der Ebene 6 die Kurven mit den Gleichungen bezw.
X-= log y Y -= log x,
a -& b a'
so werden diese als Projektionen die Kurven haben
x i, i 1l y Y x
- = log cos a + log,,-cos a= log.
1) Schreibt man die G1. (3) in der Form
log + log x
b a -
so sieht man, dafs die Annahme b -- a nur einer besonderen Wahl des Koordinatenanfanges entspricht.
2) Die von Huygens blos ausgesprochenen Theoreme wurden zuerst von
G. Grandi 1701 bewiesen (Geometrica demnonstratio theorematumn Httgeniolrum
circa logisticam seu logarithmicam, Florenz). M. s. auch G. Fontana, Sopra il
centro di gravitä della logistica finita ed infinitamente unga (Torino Mein. X u. XI).