Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

534 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
Dieser eleganten Beziehung bediente sich Euler - in einer der
Petersburger Akademie am 20. Aug. 1781 vorgelegten Abhandlung) -
um die Aufgabe zu lösen (von der wir die Lösung Riccatis in der
vorigen Nr. dargelegt haben), nämlich "eine Kurve zu finden, bei
welcher der Krümmungsradius in einem beliebigen Punkte eine Funktion
des Abstandes jenes Punktes von einem festen Punkte 0 ist". Nehmen
wir 0 als Pol, so wird B eine Funktion von Q sein, also
-R -- f(Q).
Demnach giebt (14) = *_ *20. (15)
Da überdies der Winkel t der Kathete p in dem rechtwinkligen Dreiecke, das Q zur Hypotenuse hat, gegenüberliegt, so ist
tg ~ - 9
und also wegen (13, 1a)
dSo s p
dQ ~ /-ypp2 ~
Setzen wir hierin für p seinen Wert aus (15), so erhalten wir nach
einer Integration (16). ^ = C - ^ =....... (16)
J Q -p~.
und dies ist die allgemeine Gleichung der gesuchten Kurve.
In dem einfachsten Falle, in welchem f(Q) -, wird (15) zu
p -,u + c, wo c eine Konstante bedeutet; die G1. (16) wird demnach _ _r ( _+c) dQ
de o/Vb- 0, o+C)2 '
eine Quadratur, der elementar ausführbar ist2). Wenn insbesondere
c= 0, so hat man 1/i
) _ R _ rlV _ = log - oder Q ae a ~
weshalb die gesuchte Kurve eine logarithmische Spirale ist.
Komplizierter ist der Fall f(Q)- =, mit dem Euler sich befafst hat; dann werden die Gleichungen (15), (16) zu
1) De curvis, quarum radii osculi tenent rationern duplicatamn distantiae a
puncto fixo, earumque mirabilibus proprietatibus (M6m. de l'Ac. de St. Petersbourg, IX, 1824).
2) Dafs diese Kurven Evolventen cyklischer Kurven sind, welche den festen
Kreis ihrer Evolute rechtwinklig schneiden, wird E. Wölffing in einem demnächst im Archiv der Math. erscheinenden Aufsatze zeigen.