Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Vierzehntes Kapitel: Die Ribaucour'schen Kurven. 527
Bemerkenswert sind diejenigen Ribaucour'schen Kurven, bei denen
m positiv und ganz ist; sie können nämlich als spezielle trochoidale Hüllkurven aufgefafst werden. Man betrachte einen Kreis Co,
einen Durchmesser d desselben und eine feste Gerade r; wenn Co ohne
zu gleiten auf r rollt, so umhüllt der Durchmesser d eine gemeine
Cykloide Cl: es ist dies ein interessanter Satz, den Chasles') 1837
entdeckte und den Todhunter ziemlich viel später wiederum auffand2). Läfst man nun die Cykloide C, auf der Geraden r rollen, so
wird ihre Basisgerade eine neue Kurve C2 umhüllen. Aus dieser entsteht in ähnlicher Weise eine Kurve C3, u. s. w. Eine dieser Kurven
wird durch die Gleichungen (4) dargestellt. Diese bemerkenswerte
Thatsache wurde zum ersten Male durch N. Nicolaides3) und dann
von E. Dubois4) veröffentlicht, war aber schon 1868 von Mannheim
und Ribaucour beobachtet worden, die ein Verfahren entdeckt hatten,
der Reihe nach alle fraglichen Kurven zu erhalten5). - Die vorhin
betrachteten speziellen Ribaucour'schen Kurven gehören einem System
an, dessen Charakteristiken Rt = 2(m + 1) und v = 2 sind; daher
fing's Vorschlag) sogenannten Cesaro'schen Kurven, bei denen der Krümmungsradius proportional dem vom Incidenzpunkte an gerechneten Normalabschnitte ist, welchen die in Bezug auf einen festen Kreis genommene Polare
dieses Punktes abgrenzt.
1) Apereu historique, 2. Aufl. (Paris 1875) S. 69. - Dieser schöne Satz läfst
sich leicht mit Benutzung der Fig. 115 a unter Beibehaltung der in Nr. 196 angewandten Bezeichnungen beweisen. Man erkennt nämlich leicht, dafs die Gleichung des Durchmessers C'O' ist
x - y ctg qp = r(qp - ctg qp),
oder x sin p -- y cos p = r(9p sin qp - cos (p).
Wird diese differenziert, so erhält man
x cos p + y sin wp - r(2 sin cp + qp cos qp),
welche Gleichung mit der vorigen kombiniert ergiebt
x =2 (2p + sin2qp), y = (3- cos 2g).
7trr
Wenn man nun setzt
— x 2 -, y y 2 -2p- SP1,
so gehen diese über in
i 1 - si (i - si cos cpy),
welches die kanonischen Gleichungen einer gemeinen Cykloide, erzeugt durch
r
einen Kreis mit dem Radius, sind.
2) Nouv. Corr. Math. Question 203 (gelöst in IV, 1878, S. 65). Vgl. Besant,
Notes on roulettes and glisettes, 2. Aufl. (Cambridge 1890) S. 34.
3) Analectes ou Memoires et Notes sur les diverses parties des mathematiques,
4e Livraison (Athenes 1871) S. 103 ff.
4) S. den o. a. Aufsatz.
5) Nouv. Corr. Math. VI, 1880, S. 224-25. S. auch F. Morley, On adjustable cycloidal and trochoidal curves (Amer. Journ. XVI, 1894).