Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

524 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
und wenn wir dies mit der zweiten kombinieren
x x
y = e (e)+ e,
welche Gleichung - wie wir Nr. 234 sehen werden- einer
Kettenlinie angehört.
4) m = 3. Die Gleichungen (4) gehen über in
x -2cfs - 2cctgq, == c
J-; sin29p -,( / Y / y sin2 p'
und nach Elimination von 9p
x, = 2c(y - c),
also die Gleichung einer Parabel.
Diese vier speziellen Kurven dienen als Typen für die vier Kategorien, in die (wie schon Johann Bernoulli bemerkte) die fraglichen
Kürven zerfallen, jenachdem m gerade oder ungerade, positiv oder
negativ ist. Die Glieder jeder dieser Klassen erfreuen sich besonderer
Eigenschaften, wie wir jetzt zeigen wollen.
1. m - 1 eine positive ungerade Zahl. Wird die angegebene
Quadratur ausgeführt, so werden die Gleichungen (4)
m
2,x re. - 7 S (mrn-2-) (n-2+).. k 1.(m — -
k=i
= sinm+.
Führt man den Parameter r = tg p ein, so sieht man, dafs diese
Kurven rational, von der Ordnung 2 (m + 1) und symmetrisch zur
x-Axe sind, sowie die unendlich fernen Kreispunkte als (m -I- 1) fache
Punkte haben; für m =0 gehen sie in einen Kreis über; sie können
daher - wie es Ribaucour gethan hat - mit dem Namen Kreise
höherer Ordniung belegt werden.
II. m +- 1 eine positive gerade Zahl. Die Gleichungen (4) liefern
dann k=-1
k
- cos f {sn q (-E r(m-2).:: (m-2k+ 2) k + }
cm-2+
1. 3....m y +. s in
+ 2.4... (m+1)' ~ - s- n
und diese stellen transscendente Kurven dar, die aus unz[ählig vielen
cykloidenförmigen Wellen bestehen; für m = findet man wieder die
gewöhnliche Cykloide.
III. m - 1 eine negative ungerade Zahl. Die entsprechenden
Kurven werden folgendermafsen dargestellt