Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Dreizehntes Kapitel: Die Debeaune'schen Kurven. 519
d t t y tgA 22, 2tgA
ds /1 2c c2 tg2 -
d y sin n n
y tg2
so genügt es e = X zu setzen, um für ds einen Ausdruck von
der Form 1/a + - + c, dr zu erhalten, der leicht integrierbar ist.
216. In späterer Zeit hat sich auch Joh. Bernoulli verschiedentlich mit der Debeaune'schen Aufgabe befafst'). Sein Bruder Jakob
verallgemeinerte sie aufserordentlich, indem er ihr folgenden Ausdruck gab: ~Gegeben eine beliebige Kurve; eine zweite zu finden
derart, dafs die Ordinate eines beliebigen ihrer Punkte zur Subtangente
in demselben Verhältnisse stehe, wie eine gegebene Konstante n zur
Summe oder Differenz der Ordinaten der gegebenen und der gesuchten
Kurve; oder auch, dafs das erstere Verhältnis gleich dem reziproken
des zweiten sei"2). Diese Probleme übertragen sich - wenn y f(x)
die Gleichung der gegebenen Kurve ist - in die beiden Gleichungen
dy n dy _ f(x) + y
dx f(x) y d- x n * )
die erste3) gehört einem Typus an, den man nicht in geschlossener
Form integrieren kann, es sei denn, dafs f eine lineare Funktion von
y ist, in welchem Falle man auf die ursprüngliche Debeaune'sche Aufgabe zurückkommt; die zweite ist, wenn man x als Funktion von y
auffafst, eine lineare Differenzialgleichung, die integriert ergiebt:
xye~ + fe nif(x) dx + c = 0,
wo die Integrierung je nach der Natur der Funktion f(x) ausführbar
ist oder nicht4).
Eine andere Verallgemeinerung desselben Problems5) führt zu der
Differenzialgleichung y _
dx F(y - x tg )'
Ydy
1) S. die unter Beihilfe des Marquis de l'Hopital gefertigte Abhandlung,
Solution du probleme que Monsieur de Beaune proposa autrefois ä M. des Cartes
et que l'on trouve dans la 79e de ses lettres (Journal des Savants, 1692; Joh. Bernoulli Opera I, S. 62-63), aufserdem Solutio problematis Cartesio propositi a
Dno De Beaune (Acta erud. Mai 1693; Opera I, S. 65-66), Demonstratio analytica et synthetica suae constructionis curvae Beaunianae (Acta erud. Febr. 1696;
Opera I, S. 145-148) und die XI. der Lectiones mathematicae (Opera I, S. 423).
2) Problema Beauniani universalius concepttum (Acta erud. Juli 1696; Jacobi
Bernoulli opera eI, S. 731-799).
3) Vgl. E. Collignon, Problemes divers sur la methode inverse des tangentes
Nouv. Ann., 3. Ser. XVIII, 1899 und XIX, 1900).
4) Ausführbar ist sie z. B., wenn f(x) ein ganzes Polynom in x ist, oder
gleich eax u. s. w. ist.
5) S. Riccati und H. Saladini, Institutiones analyticae II. (Bononiae
1767) S. 500.