Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Zwölftes Kapitel: Syntrepente und isotrepente Kurven. 515
Punkte derart, dafs die Bogen CM und CM' gleich sind, so ist
OMf + O'LM = OM + PM = AC. Folglich bleiben die beiden
Ellipsen bei der Drehung um 0 und 0' immer in Berührung, ohne
dabei zu gleiten. Im allgemeinen Falle: wenn r und r' zwei syntrepente Kurven sind (Taf. XV, Fig. 124) und M, M' zwei entsprechende
Punkte derselben, so mufs die Summe OM-+ O'M' der beiden Radienvectoren immer konstant = O0'= k sein; aufserdem müssen die
Winkel dieser Radienvectoren mit den zugehörenden Tangenten gleich
sein, weil bei der Berührung der Kurven die beiden Radien sowohl
als auch die Tangenten in eine Gerade zusammenfallen. Beziehen
wir daher r und r' auf zwei Polarkoordinatensysteme mit 0 und 0'
als Polen und 00' als gemeinsamer Polaraxe, so haben wir
dw,d o'
Q+ '=, dQ Q dQ (1)
Nehmen wir nun an, dafs co =- t() und co3'= - (') die Gleichungen
von r und r' seien, so wird die zweite der obigen Gleichungen zu
Q '() = Q S (),
oder wenn wir sie mit der ersten kombinieren
Q ' (e = (.- Q) -' (k -Q )... (2)
Nehmen wir jetzt die Funktion qp als gegeben an, so wird p durch
eine Integration zu bestimmen sein, nämlich durch
(e) -_f (-)e '(-Q). dQ;... (3)
es ist zu bemerken, dafs die Integrationskonstante nur Einflufs auf
die Lage, nicht auf die Natur der Kurve r hat.
Nehmen wir als Beispiel für r' die Ellipse
b- (c = Vo2-V)
a - c cos co
a ae - -2b
oder co -arc cosa -;
ce
dann wird die Gleichung (3) zu
<(e) = - b C V-s
J c'- (a —k) 2+ 2(a-k)e- e2
b (a - k) - b2
-- - arc cos
](a-k) c2 ce
Schreiben wir diese in folgender Weise:
b2
0c — - - --,.... (4)
na -kc b c
b
so sehen wir, dafs die entsprechende Kurve, wenn - = 2a, eine der
gegebenen kongruente Ellipse ist (vgl. das oben angewandte Beispiel).
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