Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Elftes Kapitel: Die Kurven v. Delaunay u. C. Sturm (Rollkurven der Ellipse). 511
hauptung bewiesen. Ändert man das Vorzeichen von b2, so verwandelt
sich (1) in die Differenzialgleichung der ähnlich durch Rollen einer
Hyperbel erzeugten Kurve. - Wir überlassen es dem Leser in ähnlicher Weise zu zeigen, dafs wenn die rollende Kurve eine Parabel
ist, ihr Brennpunkt eine Kurve beschreibt, deren Differenzialgleichung
dyx
dx= a- a dy, ist; integriert ergiebt sie = (ea-e a
xy2 - a2-q
die (wie wir später in Nr. 234 sehen werden) eine Kettenlinie darstellt.
Bevor wir uns mit der Gi. (1) näher beschäftigen, wollen wir noch
die vom Centrum G der rollenden Ellipse erzeugte Kurve aufsuchen.
Wir ziehen deshalb (Fig. 123) den Halbmesser GI parallel zur x-Axe
und verbinden G mit K. Die Sätze von Apollonius liefern dann:
G~+ GK = a2 + b2, GI. GK sin GIK =ab;
und wenn wir nun die Koordinaten von G, OH = x HG = y einführen, so haben wir
ds
sin IGE = sin GKH l s, d y y- G I sin IGE,
daher GS + (y ) = a2+-2, GI y ab;
durch Elimination von GI aus diesen beiden ergiebt sich
a2b2 b+ /()2 d 2 + b2
oder auch dx d (3)
/ (a2- y2)(y 2- b2)
Dies ist die Differenzialgleichung des Ortes des Punktes G; diesen
könnte man - dem grofsen Geometer zu Ehren, der ihn zuerst betrachtet hat - die Sturm'sche Kurve nennen.
Wir kehren zu den Gleichungen (1) und (2) zurück, indem wir
sie folgendermafsen schreiben:
dx y2 +- b2 ds 2ay
dy 1/4ay2 _- (y2 + b2)2 dC y /4a2y2 (y2 + b2)2
Die zweite ist leicht zu integrieren und giebt
y2 =a2 +e2+2esinS-.... (4)
wo so die Integrationskonstante und e - b die Excentrizität ist.
a
Nehmen wir, was jetzt gestattet ist, so=- za, so haben wir noch
einfacher 2 s 2 1 (
y =a l- 2ecos-+e )... o (4)
1) Spit z er, Merkwüirdige Eigenschaften derjenigen Cu rve, welche vom Brennpunkte einer Ellipse beschrieben wird, wenn diese auf einer Geraden rollt (Archiv
der Math. XLVIII, 1868).