Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Zehntes Kapitel: Die Pseudocykloiden. 507
wendung eines bekannten Verfahrens (vgl. Nr. 251) für die Darstellung der Evolute die beiden Gleichungen
a9, - - tg, s= a sec 2.
Wenn wir nun mit 8?2 und s. die nämlichen Elemente der zweiten
Evolute bezeichnen, so finden wir ähnlich
as a2
2 2 sec, s2 = tg;
durch Elimination von 2 ergiebt sich als Gleichung der zweiten Evolute
2_ s2_2 __ 2\
a2 b~ 22;
Daraus folgt: So wie die gewöhnlichen Epicykloiden Kurven sind,
die ihrer ersten Evolute ähnlich sind, so sind die Para- und Hypercykloiden Kurven, die ihrer zweiten Evolute ähnlich sind. Somit
erklärt es sich, dafs schon Euler auf diese Kurven traf im Verlauf
seiner Untersuchungen über diejenigen Kurven beliebiger Ordnung,
die ihrer Evolute ähnlich sind'). "
Andere bemerkenswerte spezielle Pseudocykloiden entstehen, wenn
man B2 =- r oder BR, r, setzt. Im ersten Falle werden die Gleichungen (7)
x = 2 (, - r,) cos 0(noe, y = 2(R, - r,) sin,& 6 Jo Z;
gehen wir zu Polarkoordinaten über, so erhalten wir
= 2(R, - r,) ~l,
welches eine Summenspirale (Nr. 193) darstellt. Im zweiten Falle
ergeben dieselben Gleichungen (7)
x = 2 (R2 - r2) sin9 ( in L, y = - 2 r,) cosa in e,
und gehen wir auch hier zu Polarkoordinaten über:
= 2(R2 - r)( tin,
welches eine Differenzenspirale (Nr. 193) darstellt. Somit haben
wir zwei Erzeugungsweisen dieser Kurven. Bemerkt werden soll noch,
dafs sie sich auch als Fufspunktkurve der Pseudocykloiden in Bezug
auf den Mittelpunkt des festen Kreises ergeben; dies läfst sich durch
ein ähnliches Verfahren nachweisen, wie das, durch welches wir dieselbe zwischen den Epicykloiden und Rhodoneen bestehende Beziehung (in Nr. 207) nachgewiesen haben; ebenso möge nicht unerwähnt bleiben, dafs sie sich bei gewissen Problemen des Tautochronismus vorfinden ).
1) Investigatio curvarum quae evolutae sui similes producunt (Comm. Petrop.
XII, 1750, S. 19-23) und Investigatio curvarum, quae similes sunt suis evolutis
vel primis vel secundis vel tertiis vel adeo ordinis cujuscunque (Nova Acta Petrop.
I, 1783, S. 97-106).
2) Puiseux, Sur les courbes tautochrones (Liouvilles Journ. IX, 1844).