Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

504 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
Zehntes Kapitel.
Die Pseudocykloiden.
210. Wir nehmen wieder die Gleichungen (3h) aus Nr. 204 und
wollen untersuchen, ob sie auch dann eine reelle Kurve darstellen
können, wenn die in ihnen auftretenden Konstanten R, r, h nicht alle
reell sindl). Wir setzen daher zur Verallgemeinerung
-R = -i, += rR2 i=, hr r= + i, h, -(,+ ( i+,Q2)o,
wo die, RB,..... Q reelle Konstanten sind. Der Kürze wegen
wollen wir ferner setzen
d1+ id2 = (R1 -r1) + i(R ), + i2 (-1+ 2(d +d)
Die angezogenen Gleichungen werden dann
x = (dt + -id) cos (Q, + iQ2)o + (hl + ih2) cos (6 + io 2)o
y = (d4 + id2) sin (1 + iQ2)c + (h1 + ih2) sin (61 + i62)co J
Damit x und y für alle reellen Werte von o reell seien, müssen die
eingeführten Konstanten gewissen Bedingungsgleichungen genügen,
und eine nicht schwierige Diskussion zeigt uns, dafs dies nur in folgenden beiden Fällen eintritt:
I. d2 2= 2= 2 = o0.
II. d,= h, d2 = 12, 0= -, 2.. (2)
Man erkennt alsbald, dafs im ersten Falle r -= 0, 2 == 0 und deshalb verschwindet in den Gleichungen (1) jede Spur des Imaginären,
sie gehen daher auf die Gleichung (3h) in Nr. 204 zurück, weshalb
die entsprechende Kurve eine gewöhnliche Hypocykloide ist.
Im zweiten Falle hat man d - id2 = h- + ih2, 61 + io
- ( - i 2), und die Gleichungen (1) werden dann zu
x - 2 d cos Q1 co. (oi Q2 co + 2d2 sin Q1 co * hlt 2 o. (3
y = 2 d, sin 1 so o0 Q2 o - 2 d2 cos Q, co (in 2 co
Da die so dargestellten reellen Kurven durch Rollen eines komplexen
Kreises auf einem ebensolchen Kreise erzeugt werden, so wurden sie
von E. Cesaro und E. Wölffing Pseudocykloiden oder Pseudotrochoiden genannt.
Da im allgemeinen
(dl rl-+ 2,'2) Q1 + (dt r2 - c12 r2) Q2 - (cl r2 -- d2 r1) e1 + (cd rl, + c12 } 2)
~ - r — - 2 + i' 2 - + q2 2
1) Betreffs des Folgenden s. die wichtige Abh. von E. Wölffing, Ueber
Pseudotrochoiden (Zeitschrift f. Math. XLIV, 1899), woselbst sich auch voll
ständige bibliographische Notizen finden.