Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Neuntes Kapitel: Die Epicykloiden, Hypocykloiden u. d. Kreisevolventen. 503
Fufspunktes F des vom Pole auf die Tangente in M(Q, co) gefällten
Lotes; nennen wir den Winkel OMF, so haben wir
V, 2e —
Daraus folgt i erbidug mit (2'), das
daher - o (9
cos (erch sche - sin, rale dar t, A Die -a
co o e are cos are sim ioo it d u oder Taagete..M.. (9)
Evolvenite; da nlunci' = cii3~ ~,= ~ 12, so wird die Gleichung (9) zu
12 1a
welches eine Archimedische Spirale darstellt. Also: Die Ffspunkrkurve der Evolvente eines Kreises in Bezug auf dessen C entrum ist
eine Archimed ische Spirale2).
b) Man beschreibe einen lKreis um 0 mit dem Radius, auf der
Geradele ne haen O nehme man den Punkt P ( ') derart, das OF OP= 12,
so ist der Punkt P der Pol der Tangente MP in Bezug auf diesen
Kreis und der Ort von P ist die Polarreziproke der betrachteten
Evolvente; da nun co' Gco Q,' e — l2 so wird die Gleichung (9) zu
72 72
-i aGia oder Qbähe m
welches eine hyperbolische Spirale darstellt Demnach: Die Polarreziproke der Evolvente eines Kreises in Bezug auf einen konzentrischen ist eine hyperbolische SpiraleS).
e) Wir betrachten schliefslich die durch folgende Gleichungen
dargestellte Cylinder-Schraubenlinie:
X3) r cos Cip y= — r sin, A z VI). 1.;
die allgemeine Gleichung der Tangente ist
x - r cos ( y - r sin 9p z - h p
- r sin cp r cos cp h
Setzen wie darin z ==0, so erhalten wir
x = r(cos (p 4- + sin Z), y - r(sin 9y - 92 cos t).
Vergleichen wir diese Gleichung mit (4), so schliefsen wir: Die Schnittlinie einer abwickelbaren Schraubenfläache mit der Grundebene ist
eine gewöhnliche Kreisevolvente3).
1) Clairaut, Mem. de l'Ac. des Sciences de Paris, 1740. S. auch La Gournerie, Tratte de geometrie descriptive, Art. 990.
2) Neuberg, Nouv. Corr. math. VI, 1880.- Eine andere minder wichtige
Beziehung zwischen diesen beiden Kurven ist in der Abh. von Schiffner dargestellt, Ueber die Tangenten der hyperbolischen Spirale (Archiv der Math. LXVI,
1881).
3) Monge, Geometrie descriptive (Paris, An VII) S. 112.