Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Neuntes Kapitel: Die Epicykloiden, Hypocykloiden u. d. Kreisevolventen. 493
207. Aus den Gleichungen (3,) in Nr. 205 ergiebt sich, dafs
die Gleichung der Normalen an die Kurve dargestellt wird durch
(x-Becos)-re cos + cos (-r9-)) (sin )- sin (R 1 9)) -
(22)
L(y- isin 9)-r sin p + sin ( --- 9) (cos9- - cos ( - p)) 0.
Dieser Gleichung wird offenbar genügt durch x = Bi cos 9p, y == R sin Tp;
demnach geht die Normale durch den so bestimmten Punkt, und
dieser ist nichts anderes als der Punkt B (Taf. XV, Fig. 120 a, b), in
welchem der bewegliche Kreis den festen berührt; die Normale in P'
ist also die Gerade P'B in Übereinstimmung mit dem allgemeinen
Satze von Huygens, den wir in Nr. 205 gebracht haben.
Wenn wir für den Fall der gemeinen Epicykloiden uns der
Gleichungen (4e) bedienen, so erkennen wir, dafs
x sin 2 — y cos2 — - 2n+ r sin --.. (23)
(2n + l)p sin (2n4-) n- 1 pT
xcos 2 +$s - -— ros r co.. (24)
2 2
die Tangente bezw. die Normale der Epicykloide im Punkte (q9) darstellen. Bezeichnen wir nun mit u und v die Plücker'schen Koordinaten der Normalen, so haben wir
2 cos(2 1) 2 in (2 sn-1)
8=2- 2v (25)
U= --- — -- ) =-.... (2
(n - )rcos - (n - 1)r cos
2 2
Denken wir uns nun, dafs wir die Normalen zur Epicykloide in denjenigen Punkten gezogen hätten, in denen sie von Geraden, die durch
den Punkt (x, y) gehen, berührt wird, so wird der Winkel (9 der
Gleichung (23) genügen; wenn wir demnach cp aus den Gleichungen
(23) und (25) eliminieren, so werden wir die Tangential-Gleichung
einer Kurve erhalten, die alle jene Normalen zu ihren Tangenten hat.
Nun liefern die Gleichungen (25)
212 -- 4 --
(n - 1)2,2 cos2 --
2
aufserdem erhält man durch Einsetzen der durch (25) gegebenen
Werte von sin (-2n1)- und cos (2+' in die Gleichung (23)
Uy - VX= - tg-,
3 (~- l) -'
infinitesimale (Mathesis VII, 1887) und Sur deux classes remzarquables de lignes
planes (Nouv. Ann. 3. Ser. VII, 1883. - Dieselbe Frage wird auch von Dieu,
Note sur les hypocyclozdes (Nouv. Ann. XIX, 1860) und von Henning im ~. 1
des Beitrag zur Theorie der ebenen Rouletten (Crelle's Journ. LXV, 1866) behandelt.