Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

484 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
selben. Ähnliche Betrachtungen, wie die in Nr. 197, führen uns zu
dem Schlusse, dafs die gemeinen Epicykloiden im allgemeinen unendlich viele Spitzen auf der Peripherie des Basiskreises haben; die verlängerten besitzen unzählig viele Doppelpunkte, die verkürzten unzählig viele Wendepunkte; alle (reellen) Punkte der Kurve (3e) liegen
in dem von den Kreisen um 0 mit den Radien i + r -+ h, die der
Kurve (3 ) innerhalb des von den Kreisen mit den Radien / R r -+A 7
begrenzten Kreisringes.
205. Die Erzeugung der Epicykloiden erhält gröfsere Klarheit
und führt zu neuen Folgerungen, wenn man sie als Grenzfall einer
gewissen Bewegung eines Polygons AB CD.... auffafst, welches sich
in der Ebene derart umlegt, dafs seine Seiten mit den (im allgemeinen
gleichgrofsen) Seiten eines festen Polygons A'B'C'D'... zusammenfallen ). Betrachten wir die Polygone in der Lage, dafs die Seite
AB des ersteren mit der Seite A'B' zusammenfällt; man stelle sich
nun vor, wie das bewegliche Polygon sich um den Eckpunkt B'
dreht, bis seine Seite BC sich auf B'C' gelegt hat; ein unveränderlich mit dem ersteren verbundener Punkt P beschreibt dann einen
Kreisbogen PP1 mit dem Mittelpunkte B' und dem Radius B'P, und
es wird der Winkel PB'P.1 -CB'C' sein. Kippen wir nun das
Polygon ein zweites Mal um die Ecke C', so dafs eine Ecke D auf
D' fällt, so beschreibt der Punkt P, einen zweiten Kreisbogen mit
dem Radius C'D1 um den Mittelpunkt C'. Indem wir so fortfahren,
erkennen wir, dafs die Bahn des Punktes P aus einer Reihe von
Kreisbogen besteht, deren Mittelpunkte in den Ecken des festen
Polygons liegen. Nehmen wir jetzt an, dafs die Seiten der Polygone
unendlich klein sind, so erhalten wir eine Bewegung, die durch das
Abrollen einer beweglichen Kurve auf einer festen definiert ist, und
die Bahn des Punktes P (eine sogenannte Roulette oder Rollkurve; vgl. Nr. 212) wird die Enveloppe einer Reihe von Kreisen
sein, die ihren Mittelpunkt auf der festen Kurve haben. Da nun die
Enveloppe in jedem ihrer Punkte die Tangente, und also auch die
Normale mit der Eingehüllten gemeinsam hat, und weil die Normale
der Eingehüllten (nämlich des Kreises) durch den (Mittelpunkt, d. h.
den) Berührungspunkt der entsprechenden Lage der bewegten Kurve
mit der festen geht, so hat man hiermit eine sehr einfache Methode,
die Normale in jedem Punkte der Bahnlinie zu finden; es ist dies
eine beachtenswerte Bemerkung von Huygens2), die als einfachsten
1) R. H ennig, Beitrag zur Theorie der ebenen Bouletten (Crelles Journ.
LXV, 1866); daselbst werden die beiden Linien durch die Rollen innerhalb und
aufserhalb derselben Kurve auf derselben Basis erzeugt werden, als die Glieder einer
zweiseitigen oder Doppel-Roulette betrachtet); Schlömilch, Uebungsbuch zum Studiumt der höheren Analysis, II. Tl. 2. Aufl. (Leipzig 1874) S. 320 ff.
2) Horologium oscillatorium, Pars I, Prop. 15. (Bekanntlich trägt die Widmung dieses berühmten Werkes das Datum des 25. März 1673.)