Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

478 V1. Abschnitt: Transscendente Kurven.
Cykloide in einem konstanten Verhältnisse k teilt, so erhält man
eine Kurve von folgender analytischer Darstellung:
x l {+ (1 + k) p- sin p, y= ( - +cos);
da diese von der Form (16) ist, so stellt sie eine sekundäre Cykloide
von Ricci dar. Von solchen Betrachtungen ausgehend stiefs Mannheim ) auf diese Kurven, von denen er zeigte, dafs sie durch Ellipsenbogen rektifizierbar seien, welche Thatsache sich auch leicht aus der
Gleichung (16) nachweisen läfst1). Ferner fand Clairaut2) bei der
Behandlung gewisser Fragen aus der Mechanik, dafs eine solche geliefert wird von dem Endpunkte eines Kreisradius, wenn der Mittelpunkt gleichförmig eine Gerade durchläuft, und der Radius sich gleichförmig um den Mittelpunkt dreht. Eine solche Kurve kann offenbar
dargestellt werden durch zwei Gleichungen von folgendem Typus
x = at + b - r sin (at + ), y = r - r cos (at + ß)
und diese sind leicht auf die Form (16) zu reduzieren. Es möge bemerkt werden, dafs Clairaut, nachdem er die lösende Kurve in der
obigen Weise definiert hat, hinzufügt: ~tout le monde reconnaitra
dans cette description la cycloide allongee ou accourcie".
Die neue Cykloide erfreut sich nicht hervorragender Eigenschaften3), wir verlassen daher die Kurve, um uns zu anderen wichtigeren Verallgemeinerungen der gemeinen Cykloide zu wenden.
Zuvor möge hier noch folgendes bemerkt werden: Alle Cykloiden
(gemeine, verlängerte und verkürzte) können auch durch die Bewegung
eines Punktes erzeugt werden, der mit gleichförmiger Geschwindigkeit
die Peripherie eines Kreises durchläuft, während der Kreis selbst
auch mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Geraden gleitet. Setzt
man nun voraus, dafs die Geschwindigkeiten der beiden BewegungsKomponenten nicht mehr konstant, sondern variabel nach gewissen
Gesetzen sind, so erhält man Kurven, die thatsächlich Verallgemeinerungen der Cykloiden sind. Sie wurden als solche von Varignon
in einer der Pariser Akademie unterm 31. März 1693 vorgelegten Abhandlung4) untersucht.
1) Nouv. Ann. Question 699, gelöst im IV. Bde. (1865) der 2. Ser. S. 55.
S. auch die Abhandl. von Mannheim, Recherches geometriques sur les longueu.rs
cornparees de differentes courbes (Journ. de l'Ecole polyt. Heft XL, 1863).
2) A. Clairaut, Solutions de quelques problnees de dynamique par rapport
aux tractions (Mem. de Paris 1736).
3) Der Leser wird noch leicht nachweisen, dafs sie seinem Systeme mit
den Charakteristiken g == 2, v = 2 angehört.
4) Des cyclozdes ou roulettes a l'infini, traitees a la maniere des lignes geometriques (Mem. de Paris X).