Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

474 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
schaft, dafs ein schwerer Punkt, der sie durchläuft, immer in derselben
Zeit den tiefsten Punkt erreicht, gleichgültig, von welchem Punkte er
ausgehe, eine gemeine Cykloide mit horizontaler Basis sei, jedoch
mit der Konkavität nach oben gerichtet. Doch nicht genug damit!
Joh. Bernoulli') stellte in den Acta eruditorum vom Juni 1696 und
dann in einem Programma editurm Groningae A- 1697 als,problema
novum, ad cujus solutionem mathematici invitantur" folgendes:,Datis
in plano verticali duobus punctis A et B, assignari mobili M viam
AMB, per quam gravitate sua descendens, et moveri incipiens a
puncto A, brevissimo tempore perveniat ad altrum punctum B". Die
lösende Kurve (in jenem Programm als linea celerrimi descensus
bezeichnet) und heute Brachistochrone genannt (von /ßQX'i6rog
Xovog, kürzeste Zeit) ist nun eine gemeine Cykloide, und nicht, wie
Galilei glaubte2), ein Kreisbogen: bewiesen wurde dieses von Leibniz,
Jak. Bernoulli, dem Marquis de l'Hopital und Newton3).
Ferner: Betrachtet man bei der Bewegung eines Punktes auf einer
Cykloide die Horizontale durch den Ausgangspunkt, die durch den
tiefsten Punkt und diejenige, die den Abstand dieser beiden halbiert,
so ist die Zeit, die der bewegte Punkt gebraucht, um von der ersten
Lage zur dritten zu gelangen, gleich der, welche er gelraucht, um
von der zweiten in die dritte Lage zu kommen4); dies wird dadurch
ausgedrückt, dafs man sagt: die Cykloide ist eine mesochrone
Kurve5).
Schliefslich ist die Cykloide noch mit den Anfängen der Theorie
der synchronen Kurven verknüpft; Joh. Bernoulli stellte nämlich
in den Acta eruditorum vom Mai 1697 folgende Aufgabe6):,Quaeritur
in plano verticali curva PB, quam synchronam appellare liceat, ad
cujus singula puncta B, grave ex A descendens per cycloides conterminans AB aequali tempore perveniret". Später wurde der Begriff
der synchronen Kurven bedeutend verallgemeinert: man betrachtete
nämlich eine Familie von Kurven, gelegen in einer vertikalen Ebene,
ausgehend von einem Punkte A, und untersuchte den Ort der Positionen,
den im selben Augenblicke die Punkte einnehmen, welche die gegebenen Kurven unter dem Einflusse gegebener Kräfte durchlaufen,
1) Joh. Bernoulli opera I, S. 155-161 u. 166-169.
2) Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze. Giornata III, Prop. 36, Scolio (Opere di Galileo Galilei VIII, Milano 1811, S. 353).
3) Die ersten drei Lösungen des Problems von Bernoulli finden sich in den
Acta erudit. Mai 1697, die letzte anonym in der Nr. 224 der Phil. Trans. (Jan.
1697). S. auch Leibniz, ed. Gerhard, III, S. 290, und Is. Newtonii opuscula I.
(Lausannae et Genevae 1744) S. 285.
4) Serret, Des methodes en geomdtrie (Paris 1855) S. 132.
5) Brocard, Note de bibliographie des courbes geometriques (Bar-le-Duc
1897) S. 201.
6) Joh. Bernoulli opera I, S. 192.