Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

470 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
Kreise mit dem Radius r einbeschriebenen regelmäfsigen Sechsecks;
demnach ist die Cykloidenzone AÄDLMEA exakt quadrierbar.
Dies bemerkenswerte von Huygens erlangte Resultat veranlafste
Leibniz nach weiteren zu suchen, und das nicht vergeblich. Er fand
nämlich folgendes'): Zieht man durch den Mittelpunkt B des erzeugenden Kreises in der Lage, in welcher er den Kulminationspunkt A berührt, die Parallele zur Basis, welche den Kreis, die Cykloide und die y-Axe bezw. in E, F und B' schneidet (Taf. XV, Fig.
117), so ist das von der Geraden AF und dem entsprechenden
Cykloidenbogen begrenzte Segment gleich dem Dreiecke ABE. Man
hat nämlich
Segment AFDA = Trapezfläche AABFA - Fläche AA'B'FDA
2= r -( - r - r) - r2 - cos -[s in - po +
u 4 2
r2 = / AAEB,
wie behauptet war.
Die beiden einzeln soeben bewiesenen Sätze führten Joh. Bernoulli zur Auffindung eines anderen Satzes, der diese beiden als
Spezialfälle in sich schliefst; er gelangte nämlich zur Entdeckung
unendlich vieler exakt quadrierbarer Flächen bei der gemeinen Cykloide2). Um darzulegen, wie diese bestimmt werden, betrachten wir
wiederum den rollenden Kreis in der Lage, in der er die Cykloide
im Kulminationspunkte A berührt; sei 1H der Mittelpunkt (Taf. XV,
Fig. 118) und F der Berührungspunkt der Basis; es seien I und K
Punkte des Durchmessers AH derart, dafs AK= H1= -; durch K
und I ziehen wir die Parallelen zur Basis D'D MD und B'BLB
und wollen nun die Fläche der Segmente BCDB und BCDDB
berechnen, wo C ein beliebiger Punkt des Bogens BD sein möge.
Die den Punkten B, D, D entsprechenden Werte des Winkels gp bezeichnen wir mit (po, ~, Z, und die entsprechenden Koordinaten mit
Xo0 Yo0 X, Y, X, Y; dann haben wir:
cos =Po =- - sin P - o
cos -- cos S -- X-, sin - in = V2r-7
r r
1) EExtrait d'une lettre de M1. Leibniz ecrite d'Hannovre ä l'atteur duz Journal
touchant la quadrature d'une portion de la roulette (Journ. des Savants 1678), oder
Leibniz, ed. Gerhardt, V, S. 116-17). Vgl. auch einen Brief von Leibniz an
Oldenburg v. 15. Juli 1674 (Das. I, S. 52), ebenso die zwischen Leibniz und dem
Marquis de l'Hopital gewechselten Briefe v. 30. Sept., 1. Dez. 1695 u. 15. Jan.
1696 (Das. II, S. 299, 304, 311).
2) Cycloidis priimariae segmenta innumzera quadraturae determinatio etc.
(Acta erud. Juli 1699; Joh. Bernozulli Opera I, S. 322-327).