Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

466 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
der y-Axe bilden, während (1) und (1') erkennen lassen, dafs für
ihren gemeinsamen Berührungspunkt x 0 ist. Die verlängerte
Cykloide hat demnach unzählig viele Doppelpunkte, deren Abseissen
Vielfache vom Umfange des rollenden Kreises sind. Im Grenzfalle
r =d fallen jene Tangenten zusammen, folglich hat die gemeine
Cykloide unzählig viele Spitzen.
Noch eine Gestalteigenschaft der Cykloide ergiebt sich aus der
Bemerkung, dafs der Krümmungsradius derselben im allgemeinen
durch die Formel gegeben wird
3
[2 _ _ ['2 - 2 r d cos rp] 6)
d(r cosqp -d)
und im Falle der gemeinen Cykloide durch
R 4r sin... (6')
Aus (6) geht hervor, dafs Wendepunkte der Kurve die durch die
Gleichung tg = J/ — - + bestimmten Punkte sind; damit diese nun
reelle Wurzeln habe, mufs r < d sein, folglich: Die verlängerten
Cykloiden haben keine Wendepunkte; im Falle d r, sind diejenigen
Punkte, in denen B = 0 die, für welche p = 0 (mod. 2x); dies sind
die Spitzen; demnach sind nur die verkürzten Cykloiden mit Wendepunkten versehen. Aus unserer Diskussion ergiebt sich, dafs man
die verkürzte, gemeine, verlängerte Cykloide in einer anschaulicheren
Berechnungsweise, Wendepunkts-, Spitzen- und KnotenpunktCykloide nennen könnte.
198. Bezeichnen wir mit ds, das Bogendifferenzial der durch
Gleichung (1) dargestellten Cykloide, so haben wir
ds, = dp r + d2 2rd cos. (7)
a b
Wir setzen nun r+d - -, Ir-d l --
und erhalten ds, -= d b + (a2 - 6) sin2
und, wenn wir p == 2p setzen,
ds, = d yb2 + (a2 - 2) sin2.+
Betrachten wir jetzt die Ellipse
x2 V2
-2 +- b~ a
oder x = a cos P, y = b sin p,
so ist deren Bogen se im Differenzial
dse, = d J/b + (a2- b) sin2 t,