Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

458 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
daher umgekehrt s=-a~/2p, deswegen ist
(p2 cc p
x= _ cosq.dp', y=fl sinp.d.
0 0
Setzt man (p - so werden diese Gleichungen zu
v v
x = av fc osY.dv, y = atf sin 7 —.dv, und s = a-/- v. (2)
0 0
Die hier auftretenden Integrale sind die sogenannten') Fresnel'schen
Integrale, die in der mathematischen Theorie des Lichtes vorkommen; dann hat auch der französische Physiker A. Cornu2), um
eine deutliche geometrische Darstellung der Diffraktionserscheinungen
zu erhalten, zuerst die durch die Gleichungen (2) dargestellte Kurve
betrachtet; jedoch viel später erst bemerkte E. CesäroS), dafs sich diese
Kurve der durch Gleichung (1) ausgedrückten Eigenschaft erfreut.
Die Gleichungen (2) zeigen, dafs für v =0, x== s= — s 0 und
daher - wegen Gl. (1) - R= -- ist; folglich ist der Anfangspunkt
ein Wendepunkt der Klothoide. Ebenfalls zeigen die Gleichungen (2),
dafs gleichen und entgegengesetzten Werten von v auch gleiche und
entgegengesetzte Werte von x und y entsprechen, folglich ist die
Kurve symmetrisch in Bezug auf den Ursprung. Lassen wir nun v
unendlich grofs werden, so sehen wir, weil
cos -- dv in - dv -
0 _ 0
\ 2 2
ist4), dafsi dler Punlktd( Ac (^:2-,-) ein asymptotischer Punkt der
Kurve ist. Ein anderer derartiger Punkt ist der zu A in Bezug auf
den Ursprung symmetrische Punkt A'. Die Kurve besteht demnach
aus zwei sich im Ursprunge treffenden zueinander in Bezug auf diesen
symmetrischen Spiralen (Taf. XIV, Fig. 113). Diese Gestalt veranlafste Cesäro ihr den Namen Klothoide5) zu geben, den die Kurve
behalten dürfte.
1) ~Sogenannten", weil G. Vacca (Revue de Math6matiques VII, 1901,
S. 104) bemerkt hat, dafs sie schon von Euler 1781 untersucht wurden (vgl.
Inst. Calculi Integr. IV, 1794, S. 339-343).
2) Etudes sur la diffraction: methode geometirique pour la discussion des
problenes de diffraction (C. R. LXXVIII, 1874; Journ. de Physique, III, 1874)
3) Les lignes barycentriques (Nouv. Ann. 3. Ser. V, 1886); SeZlla curva rappresentation dei fenomeni di diffrazione (Nuovo Cimento, 3. Ser. XXVIII, 1890;
C. R. CX, 1890).
4) S. z. B. Serret, Ccdalcul integral, II. Aufl. (Paris 1880) S. 136.
5) Aufser der in der vorvorigen Note citierten Abhandlung, siehe auch die
Lezioni di geometria intrinseca (Neapel 1896) S. 15, und Elementi di calcolo infinitesimale (Neapel 1899) S. 334.