Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Siebentes Kapitel: Die Klothoide. 457
oo1 Kreise. Ferner aber, wenn a = - b gesetzt wird, so wird (11)
In
= ac + —+! +
läfst man jetzt m gegen 0 konvergieren, so erhält man die Gleichung
Q= aGa, welche die Archimedische Spirale darstellt; schliefslich, wenn
man b= -l a setzt, so wird die Gleichung (11)
Q - em~w- _
a W
läfst man a unendlich grofs werden, so erhalten wir
o = -- log A
die Gleichung einer durch den Anfang gehenden Geraden1).
Siebentes Kapitel.
Die Klothoide.
194. Die natürliche Gleichung der logarithmischen Spirale
(Nr. 192) drückt algebraisch aus, dafs sie eine Linie von der Art ist,
dafs die Krümmung in einem beliebigen Punkte umgekehrt proportional dem Bogen ist. Diese Bemerkung führt natürlich zu der
Frage nach der Kurve, bei welcher die Krümmung in einem beliebigen
Punkte direkt proportional dem Bogen ist. Auf diese Frage wird
schon in einem hinterlassenen Aufsatze von Jak. Bernoulli hingewiesen,
sie wird jedoch nicht weiter untersucht2); die Untersuchung läfst sich
aber leicht mit Hilfe der in Note II (am Ende des Buches) angegebenen
allgemeinen Methode zur Bestimmung der gewöhnlichen Darstellung
einer durch ihre natürliche Gleichung gegebenen Kurve ausführen.
Da nach der Annahme
R. *s =,....,.. (1)
a2 ds s2
so hat man f(s) = s —, =j-fs) = ( 2a;
1) Weitere Einzelheiten über die fragliche Kurve und ihre Anwendungen
s. in der Dissertation von A. H. Grabau, Ueber die Naumann'sche Conchospirale
und ihre Bedeutung für die Conehyliometrie (Leipzig 1872).
2) Invenire curvamz, cujus curvedo in singulis punctis est proportionalis longitudini arcus; id est quae ab appenso pondere fleetitur in rectam (Jac. Bernoulli
opera p. 1084-86).