Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

454 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
welche wieder eine log. Spirale darstellt; folglich: Die logarithmisehe
Spirale ist eine Kurve, die ihrer Antevolute gleich ist.
Diesen Satz verdanken wir ebenso wie die vorigen Jak. Bernoullil); er bemerkte ferner, dafs, wenn man ein Licht in das
Auge der Spirale bringt, auch die Brennlinie durch Reflexion (Katakaustika), sowie die durch Refraktion (Diakaustika), sowie die sog. Antikaustika und Perikaustika wiederum ihr gleiche log. Spiralen sind2).
Entzückt und begeistert von dieser Eigenschaft der log. Spirale, sich
immer wieder selbst zu erzeugen, schrieb der berühmte Geometer:,Cum autem ob proprietatem tam singularem tamque admirabilem
mire mihi placeat spira haec mirabilis, sic ut ejus contemplatione
satiari vix queam, cogitavi illam ad varias res symbolice repraesentandas non inconcinne adhiberi posse. Quoniam enim semper sibi
similem et eandem spiram gigiit, utcumque volvatur, evolvatur, radiet;
hinc poterit esse vel sobolis parentibus per omnia similis Emblema;
Simillima Filia Matri: vel (si rem aeternae veritatis Fidei mysteriis
accomodare non est prohibitum) ipsius aeternae generationis Filii, qui
patris velut Imago, et ab illo ut Lumen a Lumine emanans eidein
O6otLog existit, qualiscumque adumbratio. Aut, si' mavis, quia curva
nostra mirabilis in ipsa mutatione semper sibi constantissime manet
similis et numero, eadem poterit esse vel fortitudinis et constantiae
in adversitatibus; vel etiam carnis nostrae post varias alterationes, et
tandem ipsam quoque mortem ejusdem numero resurecturae symbolum; adeo quidem, ut si Archimedem imitandi hodiernum consuetudo obtineret, libenter Spiram hanc tumulo meo juberem ineidi
cum epigrapho: Eadern mutatc reszurgo."3)
Für die Untersuchung der log. Spirale erweisen sich die Gleichungen in Polarkoordinaten (1) oder (1'), sowie die natürliche Gleichung (5) als die geeignetsten. Dennoch möge auch eine Folgerung angeführt werden, die man aus der kartesischen Gleichung ziehen kann.
1) S. den Aufsatz Lineae cycloidales, evolutae, antevolutae, causticae, anticausticae, pericausticae. Earum useus et simplex relatio ad se invicem. Spira
mirabilis (Acta erud. Mai 1692). Die von Bernoulli angegebenen Reproduktionen
der log. Spirale sind nicht die einzig existierenden; von denen, die ihm entgangen sind, erwähnen wir folgende von Haton de la Goupilliere entdeckte
(De la courbe qui est elle mene sa propre developpee, Liouvilles Journ. 2. Ser.
XI, 1866):,Wenn man eine Kurve sucht, deren Fufspunktkurve eine ihr selbst
ähnliche ist, nur um einen gewissen Winkel gedreht, so gelangt man zu einer
log. Spirale." Eine weitere ergiebt sich aus folgendem Satze: "Die Aberrationskurve einer log. Spirale ist eine andere log. Spirale" (F. J. van den Berg, Over
kromrningskegelsnede van vlakke krozmme lynen, Amsterd. Verh. 3. Ser. IX, 1892).
2) Vgl. die hübsche Monographie von A. Michalitschke, Die archiimedische, die hyperbolische und die logarithmische Spirale, II. Aufl. Prag 1891.
3) Die eigentliche Quelle, aus der diese Sätze unmittelbar fliefsen, haben
Klein und Lie (Math. Ann. II) entdeckt: Die Spirale ist die Bahnkurve für
eine Schaar von linearen Transformationen ihrer Ebene.