Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

452 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
Kurve rektifiziert zu haben (s. Nr. 187), Torricelli das Verdienst hat,
zuerst eine mathematisch definierte Kurve rektifiziert zu habenl); es
ist ja wahr, dafs die Rektifizierung der logarithmischen Spirale eine unmittelbare Folgerung der Gleichung s =a ist, durch welche Descartes
sie definierte, jedoch ist sie dies nicht, wenn man von einer der
Torricelli'schen Definitionen ausgeht. Immerhin ist der Beweis der
Sätze über die Rektifikation, die man Torricelli verdankt, hier nicht
unwichtig. Wir beachten zu dem Zwecke, dafs, weil s =aq, und
wegen (2) 1
cosy -........ (2')
ist, wir haben s o..... (3)
folglich: Zieht man in einem Punkte M der logarithmischen Spirale
die Tangente und ist T ihr Schnittpunkt mit der im Pole 0 zum
Vector O1 errichteteten Senkrechten, so ist M1T gleich der Länge
des ganzen Spiralenbogens vom Pole bis zum Punkte 12). Dies
ist der eine der Torricelli'schen Sätze, der um so mehr beachtenswert
ist, weil die Spirale in unendlich vielen Windungen den Pol umkreist. - Um den zweiten Satz darzustellen, bemerken wir, dafs aus
(1) sich ergiebt
ct) e~w 2ow
J t dcfe aj 2 —.dc -V^ — 4 2 2' =tg
O = — c - oO
folglich: Die Fläche des (bei der Konstruktion im vorigen Satze entstehenden) Dreiecks OMT ist doppelt so grofs, als die vom Vector
beschriebene Fläche, wenn er aus der Lage OM rückwärts die unendlich vielen Windungen um den Pol durchläuft. Dies ist der
zweite der angekündigten Sätze.
Zu weiteren Sätzen gelangt man durch die Bemerkung, dafs die
Subnormale S, die Subtangente St und der Krümmungsradius R der
logarithmischen Spirale ausgedrückt werden bezw. durch
St = tg Sn tg sin R (4)
Werden diese Gleichungen in geeigneter Weise miteinander und mit
(3) kombiniert, so erhält man weiter
R =s ctgg,.... (5)
2 + S2 S2, 2 + 82.2.... (6)
1) Vgl. G. Loria, Evangelista Torricelli e la prima rettificazione di una
curva (Lincei Rend. 5e Serie, VI, 2. Sem. 1897).
2) Halten wir die Gerade TM fest und rollen die Spirale weiter, so bleibt,
da der Winkel O TM = 90~ - sich nicht ändert, O auf der Geraden TO (s. die
Fig. 112); folglich: Wenn eine logarithmische Spirale auf einer Geraden ohne
zu gleiten rollt, so beschreibt der Pol eine gerade Linie.