Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

432 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
weist, indem sie die Idee für ein neues Instrument, um die Kurve
in kontinuierlichem Zuge zu zeichnen, liefert ). Zu dieser neuen
Erzeugung gelangte der französische Geometer, indem er aufsuchte
die Spurlinie eines mit einem festen Kreise unveränderlich verbundenen Griffels, wenn die Ebene des Kreises
sich so bewegt, dafs sie fortwährend mit einer festen Geraden r auf dem Kreise rollt. Um die Gleichung dieses Ortes
zu finden, betrachten wir den Kreis BMEI (Taf. XIV, Fig. 108) und
zeichnen ihn auch in der bewegten Ebene in derjenigen Lage, bei
welcher er die Gerade r im Fufspunkte A des von dem Spurpunkt S
des Griffels auf die Gerade r gefällten Lotes berührt. Sei BE die
Lage, welche der Durchmesser AS in der Lage BBMEI annimmt.
Wir nehmen diesen Durchmesser als Polaraxe und seinen Mittelpunkt
C als Pol; um nun die Gleichung des gesuchten Ortes zu bekommen,
wird es genügen eine Beziehung zwischen dem Radius vector CS Q=
und dem Winkel S CE — aufzustellen. Wir nennen daher den Radius des festen Kreises a, ziehen 'durch C die Gerade IM senkrecht
zu r, und durch S zu r die Parallele SH; CH, die Differenz zwischen
SA und a, ist dann eine gegebene Gröfse, die wir mit b bezeichnen
wollen. CS möge den festen Kreis in F schneiden. Alsdann haben wir
arc BM = AM = SJ = V S2- H2- -/ - b2=arcIE
SCt — O tg = - tg;
arc FI = a are tg- -, arc/FE ao.
Und da arc FE = arc FI + arc IE,
so ergiebt sich a == a arc tg / — b- +YQ2- 2.. (8)
Wenn im speziellen b== 0 d. h. der Griffel im Mittelpunkte des bewegten Kreises steht, so vereinfacht sich diese Gleichung und wird zu
= a (O -
welches eine Archimedische Spirale darstellt. Diese Betrachtungen
lassen die Archimedische Spirale als Individuum einer ganzen Klasse
von Kurven, den sog. allgemeinen Kreisevolventen2), erscheinen.
1) Über dieses Instrument sehe man Michelotti, Reche'rches sur les tnoyens
les plus convenables pour la division et la subdivision pratique des arcs ciirculaires
(Mem. de l'Acad. de Turin VI, 1792-1800) gedruckt 1801.
2) Über diese Kurven, deren Gleichung (8) ist, und andere von Clairaut
in der eitierten Abh. betrachtete, s. eine Beantwortung von V. Retali im IV. B.
(1897) S. 252 des Intermddiaiire.