Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Zweites Kapitel: Die Quadratrixkurven. 425
Die Differenz zwischen dem unbegrenzten Kurvenbogen der Hyperbelquadratrix und der Asymptote ist eine endliche Gröfse.
Zum Schlusse soll bewiesen werden, dafs die Hyperbelquadratrix
ein Spezialfall derjenigen Kurven ist, die folgendes Problem lösen ):
"Gegeben eine Gerade und ein Punkt A auf ihr; man soll durch diesen
eine Kurve ziehen derart, dafs, wenn man in einem beliebigen Punkte M
derselben eine Tangente zieht, der Schnitt T derselben mit der Geraden
so bestimmt sei, dafs AT-= n. arc A-M, wo n ein gegebenes Verhältnis
ist." Nehmen wir die Gerade als x-Axe, nennen a die Ordinate des
Punktes A, s den Bogen und p das Verhältnis dy, so führt das
Problem zu folgender Relation
ns = x — --...... (10)
Differenzieren wir diese, so bekommen wir
y' dp
p2
und da nun ds - dy,1p so können wir auch schreiben
P '
dy dp
n
y plV+-1'
daher ist, wenn wir integrieren
a 1 +ll- '
wo a die Integrationskonstante ist. Aus dieser leiten wir den Wert
von p d ~ ab und erhalten
dx
dy 2an yn
dx a2n y2n
oder auch 2a. dx = a y y. dy..... (11)
Nehmen wir vor allem an, dafs n = 1, so finden wir durch Integrieren
2n yn +1
2ax= - t - -+ + Const.,
(n- 1)y1' n+1 +Ont.
und da die Kurve durch den Punkt A hindurchgehen soll, so ist die
Konstante bestimmt, und die vorige Gleichung wird
a(yn- - an-1) a1 -l + (1
2 (n -)y_-1 + 2 (n + 1)....
die eine algebraische oder interscendente Kurve darstellt, jenachdem n
rational ist, oder nicht. - In dem ausgeschlossenen Falle n 1,
giebt (11) a y2
t () x logy 4- - Const.;
1) F. Fufs, De curva quadam transecendente ejusque proprietatibus (Mem. de,
St. Petersbourg VIII, 1822).