Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

424 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
dem zugehörigen x hat. Nun hat Perks 1706 ein geistreiches Instrument erdachtl), um in kontinuierlichem Zuge die Kurve (7) zu
zeichnen; wir wollen uns mit der Beschreibung desselben nicht aufhalten, ebenso wollen wir uns hier nicht über die Sätze verbreiten,
welche Cols on2), der bekannte Professor an der Universität zu Cambridge, über diese Hyperbelquadratrix aufgestellt hat3). Bemerken
wollen wir jedoch, dafs viel später Paul Fufs4) auf diese Kurve gestofsen ist, und eine sehr schöne Eigenschaft derselben entdeckt hat,
deren Beweis wir nun darlegen wollen.
Zu dem Zwecke beachten wir zunächst, dafs, weil die Konstante b
keinen Einflufs auf die Lage der Kurve zur y-Axe hat, man bei geeigneter Wahl derselben, die Gleichung (7) durch folgende ersetzen
kann a y 2 y(8)
x -- -~ log - q - -....... (8)
2 ~ a ' 4a
Wenn wir nun den Anfang und den positiven Sinn des Bogens s der
Kurve passend wählen, so finden wir leicht
y a2 2 2
s — log - a y- (9)
2 ö a 4a
Die Gleichungen (8) und (9) liefern dann
a2 - y2
2a
da (8) erkennen läfst, dafs lim y = 0,
x =
so schliefsen wir lim (x - s) — -~-'
1) The construction and properties of a new Quadratrix to the hyperbola
(Phil. trans. No. 306, 1706; Bd. V, S. 302 des Neudrucks. - Folgender Umstand
möge hier bemerkt werden: In der Einleitung seiner Schrift erwähnt Perks
~the old quadratrix of Dinostratus by which the circle and the ellipse are
squared" und setzt hinzu ~another sort for the same purpose, I insertet in the
Transactions for the same purpose." Nun ist die einzige Abhandlung, auf die
man jenen Hinweis beziehen kann, die anonyme, die wir anfangs von Nr. 180
citiert haben, somit scheint (eine gleichzeitige Bemerkung von E. Wölffing
und vom Verf.) die von den Herausgebern des Neudrucks der Phil. Trans. -
s. Note 3, S. 417 - gemachte Zuweisung an Jones unrechtmäfsig zu sein.
2) S. die eben citierte Abh. v. Perks.
3) Wir beschränken uns darauf, nur das folgende Beispiel anzuftihren: Ist
B der Krümmungsradius, T die Länge der Tangente, so findet man leicht:
(a9, + y)5,2 (a +- y2)2
4a2y 4a2,
daher erfreut sich die Kurve der eleganten Eigenschaft, die durch die Beziehung
1R: T == — T:y wiedergegeben wird.
4) S. die vierte von den in der Abh. Quantum differat longitudo arcus ab
asymptota utraque in infinitum extensa behandelten Problemen (Mem. de l'Acad.
de St. Petersbourg IX, 1824).