Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Zweites Kapitel: Die Quadratrixkurven. 423
einer Kurve dritter Ordnung, die durch diesen Punkt hindurch geht
und den Pol als Doppelpunkt hat. Die Kochleoide gehört also (vgl.
Nr. 174) einem System an mit den Charakteristiken = —1, v =2.
Führen wir Polarkoordinaten ein und nehmen an, dafs der Punkt P in
der Entfernung a vom Pole liege, setzen also
x=Qcoso, y-=Qsinco, X==acosa, Y=asina,
so wird die vorige Gleichung zu
a sin (2co - a) == [sin co + sin (co - )]
oder sin (o - ) {~ cos( - 2 - cos-2 = 0;
die Kurve dritter Ordnung des allgemeinen Falles zerfällt alsdann in
die Gerade co = und den Kreis Q cos = a c ), der
durch die beiden ausgezeichneten Punkte der Kochleoide geht und
seinen Mittelpunkt auf der Halbierungslinie des Winkels P OA hat.
Zum Schlusse sei bemerktl), dafs man die Kochleoide auch als
eine besondere Centralprojektion einer Kreiseylinder- Schraubenlinie
ansehen kann2).
181. Die Hyperbel ist nicht, in gleicher Weise wie der Kreis,
algebraisch quadrierbar; will man also ihre Fläche berechnen, so mufs
man zu transscendenten Funktionen seine Zuflucht nehmen; nun ist
wohl klar, dafs während eine Kreisquadratrix wenigstens einen Punkt
enthalten mufs, von dem eine kartesische Koordinate oder der Radius
vector ein Vielfaches (ganzes oder gebrochenes) von ff ist, für eine
Hyperbelquadratrix, eine der Koordinaten eine logarithmische Funktion
der anderen sein mufs. Von dieser Art ist die Kurve, für welche
die Summe der Tangente und der Subtangente konstant ist. Deren
Differentialgleichung ist nämlich
y9 q_ y 9/dx\ 2 dx
| +y[ dy) +Y =dy=
a2 _y
oder dx= a Ydy;
2ay
durch Integrieren findet man alsbald
X- 4+ilog -...... (7)
wo b eine beliebige Konstante ist. Es ist klar, dafs, wenn diese
Kurve gezeichnet ist, man log in rationalen Funktionen von y und
1) Weitere bibliographische Angaben findet man in dem S. 418 (Fufsnote)
citierten Aufsatze von E. Wölffing.
2) Fouret, Sur les faisceaux ponctuels planes de characteristique v ayant
un point prineipal d'ordre v (Bull. de la Soc. Math. de France VII, 1879, S. 199);
MathAsis, 3. Reihe I, 1901, Question 1273 (I-. Brocard).