Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Zweites Kapitel: Die Quadratrixkurven. 421
Eine dritte Aufgabe, die durch dieselbe Kurve gelöst wird, wurde
privatim von D. Bernoulli und GColdbach') behandelt, und öffentlich vorgelegt von Bossut2) und darauf von E. Catalan3); sie lautet
folgendermafsen: "Eine unendliche Zahl von Kreisen berühre eine Gerade in demselben Punkte; man nehme auf jedem derselben, von diesem
Punkte ausgehend, einen Bogen von gegebener Länge an; welches ist
der Ort der Endpunkte aller dieser Bogen?" Um diese Frage zu beantworten, nehmen wir ein Polarkoordinatensystem, das diesen festen
Punkt 0 als Pol hat (Taf. XIV, Fig. 106) und als Polaraxe die gegebene Gerade. Es sei C der Mittelpunkt, r der Radius eines beliebigen
von jenen Kreisen, 1 die gegebene Länge, Q, p die Koordinaten des
Endpunktes des Bogens 01M, so ist offenbar - 2rp9, - 2r sin p;
durch Elimination von r erhält man wiederum -= — in p als Gleichung des Ortes der Punkte M.
Später gelangten zu derselben Kurve G. Jung4), J. Neuberg5)
und C. Falkenburg6), indem sie von gewissen Betrachtungen der angewandten Mathematik ausgingen7); der letztere gab ihr auch, mit
Rücksicht auf die Ähnlichkeit mit einer Schnecke, den Namen Kochleoide, der sich zu halten scheint; dafs sie dieselbe Kurve sei, welche
die Alten mit diesem selben Namens) bezeichnet haben, ist eine Vermutung von P. Mansion9), und die vorhandenen Dokumente berechtigen uns weder diese Vermutung anzunehmen, noch auch sie von
der Hand zu weisen.
Die Gleichung (6') läfst deutlich zwei ausgezeichnete Punkte erkennen: läfst man nämlich (p ins Unendliche wachsen, so geht Q in
Null über, folglich ist der Pol ein asymptotischer Punkt; geht hingegen qp in Null über, so erreicht Q den Wert a, folglich ist A
der vom Pole am weitesten entfernte Punkt und zugleich derjenige
kleinster Krümmung.
1) S. den Brief v. 30. u. 31. Oktober 1726, veröffentlicht von P. H. Fufs in
Correspondance mcathenmatique et physique de quelques celebres geometres du XVIII
Siecle (II, St. Petersbourg, 1843, S. 242 und 244).
2) Calcul integral (Paris, An. IX); eine Lösung derselben von Gergonne
findet sich im III. B. der Annales de Mathen.
3) Manuel des candidats a 'Ecole polytechnique I. (Paris 1857) S. 331. Vgl.
Azzarelli, Alcune proprieta di una curva trascendente (Ann. di Matem. V, 1863),
und Rankine, On the approxinate drazwing of arcs of given length (Rep. of Brit.
Ass. XXXVI1, 1867).
4) Nuovi teoremni a complemnento della regola di Guldin e proprietd della
sin 0
Spirale r- c a (Lincei Rend. 3. Ser. VII, 1883).
5) Mathesis V, 1885, Question 257.
6) Die Cochleoide (Archiv LXX, 1883), nach Mitteilungen von J. Neuberg.
7) S. auch E. Cesaro, Elementi di calcolo infinitesimnale (Neapel 1899) S. 332.
8) xoXooE 7ijc yQqIUyi; s. Pappus.
9) lMcthsis V, 1885, S. 92.