Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

420 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
welche Gleichung die Gestalt von (6) hat; folglich liegen die Punkte
B, C, D, E..... H auf einer Quadratrix der obigen Art1).
Auf dieselbe Kurve war früher schon Fontana2) gestofsen, als er
den Ort der Schwerpunkte der Bogen eines gegebenen Kreises, die einen
gegebenen Anfangspunkt haben, suchte. Sei 0 der Mittelpunkt, r der
Radius jenes Kreises und A der Anfangspunkt der Bogen; man nehme
0 als Pol, OA als Polaraxe und betrachte einen beliebigen dieser
Bogen AA'= 2rcp (Taf. XIII, Fig. 105); dann hat sein Schwerpunkt
bekanntlich als Polarkoordinaten bezw. p und r sinp; die Gleichung
des fraglichen Ortes ist dann - = sin 3).
9- k-nnen s uch in folge1de
1) Die Gleichungen (p) auf vor. Seite k — können auch in folgende
cos-2
zusammengefafst werden: 2: i 2k — ) =.2(k)*cos-k,
oder, wenn man -= c setzt,
2k
Q (2 C) = (C) Z COS C;
diese Relation läfst alsbald vermuten, dafs die Untersuchung der Gleichung der
Kurve, auf welcher die Punkte B,C,D,... liegen, vollständig gleichbedeutend
ist mit der Bestimmung derjenigen Funktion Q = Q(0o), welche der vorigen
Funktionsgleichung genigt; aber es ist auch leicht einzusehen, dafs in Wirklichkeit so die Frage verallgemeinert worden ist. Ist nämlich eine Funktion
Qo (c) gefunden, die der Aufgabe genügt, derart also, dafs
Q0 (2 0) = Qo (X) cos,
so hat man auch Q() = Q
C (2 m) eo ()
daher ist () = f(c) eine Funktion von o, die sich nicht ändert, wenn man
co in 2 c verwandelt. Einem Satze von Laplace zufolge ist sie demnach von
der Form 0 (sin 2, log o 2os2 log c), wobei 0 eine beliebige Funktion bedeutet. Wenn daher Qe (co) eine spezielle Lösung der obigen Funktionsgleichung
ist, so ist O(sin log os 21og g ) die allgemeine Lösung derselben. Die
(verschiedentlich bewiesene) Nicht-cÄquivalenz der Untersuchung der Gleichung
der fraglichen Kurve mit der jener Funktionsgleichung wurde in der Hauptsache
von E. Beltrami bemerkt (Remarques au sujet de la Question 654, Nouv. Ann.
2e Serie, II, 1863).
2) S. das zweite Problem von IX der Disquisitiones physico-mnathematicae
nunc prirmum editae (Pavia 1780).
3) Diese Erzeugungsweise der Kurve findet sich auch in einer Note von
E. Egger im VI. B. der Ann. di Matem. 1864, S. 21-27 und in einer neueren
Arbeit von V. S to e ckly, Bedeutung und Eigenschaften der aus r =a entspringenden Curve (Archiv XLVIII, 1868).