Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

418 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
to the circle being the curve described by its equable evolution. Die
Kurve, um dies sich handelt, wird in Polarkoordinaten 9, co durch die
Gleichung 4.r cos w
2........ (6)
dargestellt. Dafs sie zur Quadrierung des Kreises dienen kann, ersieht man, wenn man beachtet, dafs die Gleichung für = 2,
Q = 2zr ergiebt, ist daher die Kurve zum wenigsten für die zwischen
0 und - gelegenen Werte von co gezeichnet, so kennt man die Länge des
Kreisumfanges mit dem Radius r, und also z. Da für co = (27 + 1) 2,
(k +0) Q=-0 wird, so ist klar, dafs die Kurve unzählige Male durch
den Pol hindurch geht; der Radius vector wächst unzählige Male zu
einem endlichen Maximum an, u. s. w. Die Kurve steht zur Quadratrix
des Nikomedes in sehr einfacher geometrischer Beziehung, was ja
erklärlich ist, da sie in gleicher Weise wie jene der Quadratur des
Kreises dient. Führen wir nämlich auf die Gleichung (6) die Transformation durch reziproke Radienvectoren aus, welche ihr Centrum
im Pole und als Potenz k2 hat, so bekommen wir eine Kurve von
der Gleichung 1- 2
k2
4r cos;
indem nun diese im wesentlichen mit Gleichung (1) identisch ist, so
ist bewiesen, dafs diese neue Quadratrix die Inverse der älteren ist.
Setzen wir z - 2o = cp und 2tr a, so wird Gleichung (6)
sina,.... (6')
und in dieser eleganten Form wurde sie von mehreren aufgefunden,
die die Kurve, mit der wir uns hier beschäftigen, wieder entdeckten,
und auf diese müssen wir noch zurückkommen.
Vor allem ist von Gregor Fontana folgende Aufgabe gestellt
wordenl): "Auf einer unbegrenzten Geraden MQ ist ein Punkt A gegeben (Taf. XIII, Fig. 104) und aufserhalb derselben ein beliebiger
Punkt B; die Gerade AB und der Winkel BAQ sind somit bekannt.
Man ziehe BC senkrecht zu AB, sowie die Halbierungslinie AC des
(IV, London 1809, S. 462):,This paper, which is anonymous, has much of the
manner, style and peculiarities of William Jones, Esq., who soon afterwards
made so cospicuous figure in the Royal Society and in the mathematical world."
Dagegen hat E. Wölffing (Bibliografia della cocleoide, Boll. di bibl. e storia
III, 1900) unabhängig vom Verf. nachgewiesen, dafs J. Perks der Verfasser der
betreffenden Abhandlung ist (vgl. S. 424, Note 1).
1) S. den ersten Teil der Abhandlung Sopra l'equazione d'una curva, sopra
la falsitä di due famosi teoremi e sopra le serie armoniche a termini infinitamnente
piccoli (Mem. de la Soc. Ital. delle Scienze II, 1784).