Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

18 II. Abschnitt: Kurven dritter Ordnung.
so sehen wir, dafs wir reelle Punkte der Kurve nur dann erhalten,
wenn x > Ca; daraus kann man die Folgerung ziehen, dafs die Kurve
nur aus einem einzigen unbegrenzten Zweige besteht; es ist die
Parabola pura Newtonsl), die Simplex Cayleys. - Diese Kurve
ist ebenso wie die vorige ohne singuläre Punkte. I und II sind
auch die typischen Fundamentalformen aller ebenen Kurven dritter
Ordnung mit nicht verschwindender Determinante. Ist eine Kurve
durch ihre Gleichung in kartesischen oder homogenen Koordinaten
gegeben, so genügt es, um zu erkennen, ob sie von der Form I oder II
ist, die absolute Invariante zu berechnen; ergiebt sich diese als reell,
so ist die Kurve eine Complex, ist sie imaginär, so ist sie eine
Simplex. Somit ist eine Complex jede harmonische Kurve dritter
Ordnung, eine Simplex jede aequianharmonische2). Für die Kurven
I und II ist auch in vielen Fällen die Anwendung folgender kanonischer Form der Gleichung sehr nützlich:
x3 + X23 + X33 + 67kx.X23 O= O. (9)
die man erhält, wenn man als Fundamentaldreieck dasjenige der
Wendepunktsdreiecke nimmt, welches reell ist.
III. al = a2 ulnd a3 reell. Die Gleichung (2') wird in diesein
Falle
2 = aO (x- a) (x - a3)
und zeigt, dafs der Punkt A2 (a2, 0) ein isolierter Punkt der Kurve
ist: sie enthält ferner unzählig viele reelle Punkte, die den Werten
x ]> a3 entsprechen. Von Newton wurde diese Parabola punctatac von
Cayley Acnodal genannt.
IV. ac und a2 = a3 reell. Aus der Gleichung
= ao (x - a) (x - 2)
geht'hervor, dafs A2 (a2, 0) ein Doppelpunkt der Kurve ist, von der
man alle reellen Punkte erhält durch x > a. Es ist die Paarabola
inodata Newtons, die Crunodal Cayleys.
V. Wenn schliefslich die drei Werte al, a2, a3 unter sich gleich
und reell sind, so kann man Gleichung (2') schreiben
y2 ao (x- a)3;
die entsprechende Kurve hat eine Spitze, und ist daher von Newton
Parabola cuspidata, von Cayley Cucspidal genannt worden. Aus der
oben in kurzen Zügen gegebenen Diskussion ergiebt sich der be1) Murdoch (Neztonii genesis curvarum per cumbras, Londini 1746) unterschied drei Arten der reinen Parabel, die er ampullata, campacifonrmis und
neutralis nannte.
2) Diese wichtige Bemerkung, welche die Gestalt einer Kurve dritter Ordnung
mit dem Werte ihrer absoluten Invariante verknüpft, rührt her von Crem o n a
(s. Considecrazioni sulle xtcrve piane del terz' ordine, Giorn. di Mat. II 1864).