Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

412 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
es sei y0 die Ordinate des Punktes I, in welchem die Quadratrix die
Gerade AD (x-Axe) schneidet, so haben wir
y0o lim - lim uX _ licm 2- cos 2
x= —0 x=0 t =0g 2r
2r
und daher ist = -; ist nun der Punkt I geometrisch bestimmt,
so ist damit auch z bestimmt und damit jeder Kreisumfang rektifiziert, und jeder Kreis quadriert, damit ist die Anwendbarkeit der
Kurve des Hippias und Dinostratus auf das Problem der Quadratur
des Kreises erhärtet.
Die Gleichung (2) führt noch zu einem anderen Schlusse; sie
zeigt nämlich, dafs die Gleichung der Tangente im Punkte (x, y) die
Gleichung hat _X
Y-y = (X -x) g.. (3)
2 2
wo X, Y die laufenden Koordinaten sind; oder wegen Gleichung (2)
Y- -= (X-x){?- -— lj. Y.... (3)
Betrachten wir in dieser Gleichung X und Y als gegeben, x, y als
unbekannt, so kann sie mit (2) kombiniert zur Bestimmung des Berührungspunktes der vom Punkte P(X, Y) aus an die Quadratix gezogenen Tangente dienen; da nun (3) eine kubische Gleichung zu x, y
ist, die durch X-x, Y==y befriedigt wird, so folgern wir: Die Berührungspunkte der Tangenten, die man von einem Punkte P an
eine Quadratrix ziehen kann, liegen auf einer Kurve dritter Ordnung, die durch diesen Punkt hindurchgeht; die Quadratrix gehört
demnach (vgl. 174) einem System mit den Charakteristiken t = 1,
v =2 an. Daraus folgt: Die Tangenten an eine Quadratrix in den
Punkten, in welchen sie von einer Geraden geschnitten wird, umhiillen
eine Kurve dritter Klasse, die jene Gerade als Doppeltangente hat.
177. Wie aus dem in voriger Nr. wiedergegebenen Passus der
Sammlung des Pappus hervorgeht, glaubten die Alten, dafs die
Quadratrix nur aus dem Zweige BI innerhalb des QuadrantenlABD bestehe, und diese Ansicht hat sich mindestens bis zu den Zeiten Vietas
erhalten'); die Irrigkeit derselben wird zur Evidenz bewiesen durch die
Thatsache, dafs die Gleichung (2) sich nicht ändert, wenn man das
Vorzeichen von x wechselt, also ist die Quadratrix symmetrisch in
Bezug auf die y-Axe (AD); dieselbe Gleichung zeigt, dafs, wenn
Ix > r, y < 0; folglich erstreckt sich die Kurve auch nach der negativen Seite der y, ferner ergiebt sich für x= 12r, y- = o. Auch
1) Vgl. Variorum de rebus mathematicis responsorum, Cap. VIII, Prop. I
(F. Vietae, Opera mathematica ed. Schooten, Lugd. Batav. 1646, S. 365).