Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

VI. Abschnitt.
Transscendente Kurven.
Erstes Kapitel.
Einleitung.
174. Alle diejenigen Kurven, die man nicht durch eine algebraische (ganze rationale) Gleichung zwischen den kartesischen Koordinaten x, y eines Punktes darstellen kann, nennt man transscendente Kurven. Unter den nicht algebraischen Kurven verdienen
diejenigen einen abgesonderten Platz, deren linke Seite ein Polynom
in x, y mit irrationalen Exponenten ist; diese tragen nach einem
Vorschlage von Leibniz den Name interscendente Kurven1), und
sie bezeichnen gewissermafsen den Übergang zwischen den algebraischen
und transscendenten Kurven; ein Beispiel dieser Art ist uns schon in
Nr. 127 (am Schlusse) begegnet.
Jener ganze Teil nun der Theorie der algebraischen Kurven, der
die in Bezug auf eine projektive oder Cremona'sche Transformation
invarianten Eigenschaften betrifft (Polaren-Theorie, kovariante Kurven,
Plücker'sche Charakteristiken, Geschlecht, adjungierte Kurven u. s. w.)
hat bis heute kein Seitenstück in der Theorie der transscendenten
Kurven; dagegen die ganze metrische Geometrie der ebenen Kurven
(Konstruktion der Tangenten, des Oskulationskreises, Quadratur, Rektifikation u. s. w.), da sie unabhängig von der Annahme, dafs die Kurve
algebraisch sei, ist durchaus auf die transscendenten Kurven anwendbar.
Wenn man sich hier an den Gebrauch kartesischer Koordinaten hält,
so erweisen sich die algebraischen und die transscendenten Kurven als
gänzlich heterogene geometrische Figuren; in vielen Fällen jedoch verschwindet dieser Unterschied, wenn man andere Koordinatensysteme
anwendet. Z. B. haben wir in Nr. 134 gesehen, dafs in Polarkoordinaten
e, )c die Gleichung 9 = 1R sin co, bei Variierung des Index Ft, unzählig
viele Kurven darstellt, die algebraisch oder transscendent sind, jenachdem F rational oder irrational ist, die sich jedoch vieler gemeinsamer
Eigenschaften erfreuen; dies beweist, dafs man in einem solchen Falle
1) Vgl. Cramer, Intqrocdctioln a n l'ctdyse des lignes courbes algebr'iques
(Genf 1750) S. 8; daselbst ist als Beispiel folgendes angeführt: yi '2- y = x.