Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Neunzehntes Kapitel: Die Lissajous'schen Kurven. 403
derselben die Tangente und fällen auf sie das Lot 0 Pi so ist P1 OP
einer der gesuchten Winkel.
Kurven, die allgemeiner als die Sinusspiralen sind und die Polargleichung haben
sinn
Q O n o
kommen in der darstellenden Geometrie vorl).
Neunzehntes Kapitel.
Die Lissajous'sehen Kurven.
173. Der mathematischen Untersuchung gewisser akustischer
Phänomene verdankt die Geometrie eine Klasse von Kurven, der wir
das letzte Kapitel dieses Abschnitts widmen wollen2); es sind diejenigen Kurven, die man - nach dem Namen des französischen Physikers, der sie zuerst betrachtet hat3) - die Lissajous'schen Kurven nennt. Wir definieren sie durch die beiden Gleichungen
x =- a sin (rnt +y), y =bsin(nt + ),... (I)
die eine parametrische Darstellung der Kurve geben; a und b sind
beliebige reelle Konstanten, y und d beliebige gegebene Winkel und
in und n bekannte Zahlen. Diese kann man immer als positiv annehmen, weil, wenn sie es nicht wären, man als Parameter - t statt t
nehmen könnte, womit nur der positive Sinn auf einer oder beiden
Koordinataxen geändert würde. Wenn das Verhältnis - irrational ist,
so ist leicht einzusehen, dafs die Kurve nicht algebraisch sein kann;
ist es aber rational, so kann man immer die beiden Zahlen als ganz
und relativ prim annehmen, denn, wenn sie es nicht wären, so könnte
man sie dahin bringen, indem man - als neuen Parameter nimmt,
wo D das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner von m und n ist.
Schliefslich, wenn man die Bezeichnungen in geeigneter Weise wählt,
1) F. J. (Gabriel-Marie) Exereises de geometrie descriptive III. Aufl. (Tours
und Paris 1893) S. 785.
2) Andere algebraische, mathematisch-physikalische Kurven finden sich in
der Abhandlung von Euler: Problemra: Un cops etant attire en raison reciproque qauarree des distances vers dezx points fixes clonnes; trouver les cas oü la
coerbe decKite par ce corps sera algebirique (Mem. de Berlin XVI, 1760); die daselbst niedergelegten Resultate wurden von Legendre vollständig behandelt
im II. B. seiner Exercises de calcul intteyral (Paris 1817).
3) Lis s aj o u s, Memoire se'r la position des noezds dans les lanmes qzui vibrent
tra)nsversalemzent (Ann. de Phys. eit de Chemie, 3. Ser. XXX, 1850).
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