Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Achtzehntes Kapitel: Kurven durch Lemniskatenbogen rektifizierbar. 401
Es liegt aufserhalb unserer Aufgabe, auch die mechanischen Eigenschaften der Sinusspiralenl), sowie ihr Auftreten in Fragen der Geodäsie2) und der Analysis3) darzulegen. Wir beschliefsen daher dieses
Kapitel, indem wir die bemerkenswertesten unter den speziellen Sinusspiralen anführen; wir erhalten sie, wenn wir dem Index n spezielle
Werte zuerteilen:
1) n 1; G cc cos co; ein Kreis mit dem Durchmesser 2a.
2) = - 1; Q cos c = 4a; eine Gerade.
3) n 2; Q2 2 a2 cos 2 o; eine Bernoulli'sche Lemniskate.
cos 2 co
4) n=-2; 2 8oa; eine gleichseitige Hyperbel.
1 16a
5) n- - 2; — +1cos c; eine Parabel.
1 a
6) n == - - + 2;.- (1 + cos co) eine Kardioide.
Aufser diesen uns schon bekannten Kurven mögen noch die neuen
Kurven angeführt werden, welche folgenden Werten des Index entsprechen:
7) n 3; Q3 =4a3cos3 o; die Kurve 6.. (x2+y 2) -4a3(x-3 xy2);
sie wird öfters die Kiepert'sche Kurve genannt, nach dem Geometer, der (jedoch nach W. Roberts) wichtige Untersuchungen über
die Rektifikation derselben angestellt hat, indem er sich dabei der
elliptischen Funktionen bediente4).
CS3
) n = i - 1 en e eer aael duh e
8) n — 3; ~ — 16a; Brennlinie einer Parabel durch Reflexion, wenn die Lichtstrahlen senkrecht zur Axe auffallen, welche
Kurve Cazamian cubique de l'Hopital5) und Archibald Tschirnhausen's cubic nannte6).
1) O. Bonnet, Proprietes geometriques et mdecaniques de quelques 0courbes
(Liouvilles Journ. IX, 1844); Haton de la Goupilliere, These d'Astronomie
(Paris 1857) und Sur le minimum du potentiel de l'arc (Ass. fr., Besan9on 1893);
de Saint-Germain, Recteil d'exercises sur la mecaniqzie rationnelle, 2e ed. (Paris
1889) S. 155-56.
2) A. Winckler, Bemerkung üiber einige Formeln der Geodäsie (Crelles
Journ. L, 1855). Die daselbst (S. 34) auftretende _
Refraktionskurve ist eine Sinusspirale, da ihre =R [sin (z + (k- ))1)lk_ I
Gleichung in Polarkoordinaten r, v folgende ist: L siz
3) Borel, Le(ons sur les series divergentes (Paris 1901) S. 132.
4) S. die schon citierte Dissertation De curvis, quarum areus integralibus
ellipticis primi generis exprimitur (Berlin 1870) und die Abhandlung.Über eine
geometrische Anwendung der complexen /Multiplication der elliptischen Functionen
(Crelles Journ. LXXIV, 1872). - Giebt es aufser der Lemniskate und der Kiepert'schen Kurve Sinusspiralen, die durch elliptische Funktionen rectifizierbar sind?
5) Application de la mdthode de transformation par polaires reciprqoqzes a des
theoremes relatives aux cubiques unicursales (Nouv. Ann. 3e Ser. XIII, 1894, S. 307).
6) 0. a. Inaugural-Dissertation, S. 18.
Loria, Ebene Kurven. 26