Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Achtzehntes Kapitel: Kurven durch Lemniskatenbogen rektifizierbar. 399
daher wird bei geeigneter Wahl der Integrationskonstante
arctg d ) + (M-1) =0,
oder d -tg (m- ) 0
Eine zweite Integration ergiebt nun
logOQ= ~1 lg Qcos (m - 1) + k
wo 7; eine Konstante ist, oder auch
m- 1 km- cos (m -1) o.
Da diese Gleichung von der Form (6) ist, so stellt sie eine Sinusspirale dar. - In dem Falle m = 1, den wir ausgeschlossen haben, ist
die Differenzialgleichung des Problems
i d2,1 (d)\2
e dco2 - \dwp )
welche integriert liefert:
1 dq
( dco
oder de
dco
und durch Integrieren = bec.
Wir werden (in Nr. 191) sehen, dafs diese eine logarithmische Spirale
ist; diese teilt also mit der Sinusspirale die durch Gleichung (10)
ausgedrückte Eigenschaft.
Die Gleichung (10) führt noch zu einer weiteren Folgerung.
Betrachten wir aufser der durch (6) dargestellten Spirale eine andere
ähnliche Kurve, welche jene im Punkte (Q, co) berührt; bezeichnen
wir mit n' den Index und mit R den Krümmungsradius derselben,
so haben wir
R' cosy= n -....... (10')
aus (10) und (10') folgt r 1 n +1
' * -- ~n'+ 1;
dies ist eine Gleichung, welche die bemerkenswerte Eigenschaft ausdrückt, die wir (Nr. 126) bei den triangulär-symmetrischen Kurven
kennen gelernt haben. Nun ist dies Zusammentreffen kein zufälliges,
und um den wahren Grund desselben einzusehen, setzen wir in (6)
n - m und schreiben sie infolgedessen so
n cos O = 2 (2a)m,.... (6')
wenn wir jetzt Qe'o= x + iy setzen, so wird
Q (cos m co +- i sin m c) = (x + iy)m
und Qm (cos m 0 - i sin mw ) = (x - iy)m