Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Achtzehntes Kapitel: Kurven durch Lemniskatenbogen rektifizierbar. 397
dafs die Sinusspiralen die vom Grafen von Fagnano vergeblich gesuchten Kurven seien ), welche die Eigenschaft haben, ~dafs die Winkel,
welche die von einem festen Punkte ausgehenden Sehnen mit der
Axe bilden, in einem konstanten Verhältnisse stehen zu den Winkeln,
welche die Normalen in den Endpunkten der Sehnen mit derselben
Axe bilden." Dafs diese Vermutung sich mit der Wirklichkeit deckt,
kann man durch folgende kurze Rechnung zeigen2). Nennen wir Q, co
die Koordinaten eines Punktes M der gesuchten Kurve, lu den Winkel
der zugehörigen Tangente mit dem Radius vector im Berührungspunkte und k den Wert des konstanten Verhältnisses, so ergeben die
Bedingungen des Problems (vgl. Fig. 100 auf Taf. XIII) die Gleichung
kco = co + - ~ oder ( 1) c 2;
daraus folgt tg(k 1)o
ctg(k -l)63=tg,6- b: d -
Schreiben wir diese Gleichung wie folgt
-Q= tg(k -1)am do,
so sind die Variabelen getrennt, und durch Integrieren ergiebt sich
log + k- 1 log cos (k - 1) c =,
oder auch Q-k = cl-k cos (1- k) c.
Somit ist, da diese Gleichung von der Form (6) ist, bewiesen, dafs
die Kurven des Fagnano Sinusspiralen sind.
Wenn n eine ganze Zahl ist, so können unsere Kurven noch in
2ikn
anderer Weise definiert werden. Es seien ae n (k 0,1,2.... n-1)
die n komplexen Zahlen, welche die Ecken Ak eines regelmäfsigen
Vielecks darstellen, qeiw die einem Punkte M der Ebene entsprechende
Zahl, dann ist
k —n —1
o ( - cs (- 2?) + a2) = n-2 n co8nC + a2;
k=O
daraus leitet sich ab, dafs der Ort der Punkte M so beschaffen ist, dafs
Ao. M At M..... A_1 M= bn
als Polargleichung hat:
2n - 2 a e cos n s + a2n - b2.
Im speziellen hat man für b =a die Gleichung
Qn = 2an cos n$,>
1) Produzioni matematiche II. (Pesaro 1750) S. 375-412.
2) Vgl. den S. 395 citierten Aufsatz des Verf.