Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

16 II. Abschnitt: Kurven dritter Ordnung.
man divergente Parabel genannt hat. Projiziert man hingegen die
Seite a3 ins Unendliche und setzt daher x -x,, x -x -, so
erhält man die folgende kartesische Gleichung
y= aoX + 3a1x2y + 3a2xy2 + a3.... (3)
Wir werden im Folgenden auf diese Gleichung zurückkommen, wollen
indessen bemerken, dafs Gleichung (2) noch weiterer Umformungen
fähig ist. Wählen wir nun in der That die Ecke A2 in geeigneter
Weise, so läfst sich (1) zurückführen auf folgende Gleichung
x2x2- x1 (x2 -- x) (k22 - x)... (4)
Die vom Punkte A3 an die Kurve gezogenen Tangenten haben die
Gleichungen:
x2 =O0, x=-0, x2 -x= 0, k22 — x- = 0,
und daher ist ihr Doppelverhältnis k2; dieses ist also die absolute
Invariante der Kurve. Bezeichnen wir nun mit Q einen Proportionalitätsfaktor und mit i einen Parameter, so wird der Gleichung (4) genügt,
indem man setzt
Qx --;l, Q2 = 3, durch QX3 = /(1 -;l) (t1 1 - 22).
Setzt man aber A - Sz u, unter der Annahme, dafs ku der Modulus
sei, so hat man weiter
Qx = snu, QX2 S= SZ u, QX3 == Clu' du... (5)
Diese Gleichungen liefern eine parametrische Darstellung einer Kurve
dritter Ordnung vermittels der Jakobischen elliptischen Funktionen ),
die entsprechende Bedingung der Collinearität2) dreier Punkte lautet:
ui + u2 + u3 = 0.
Auf eine analoge Darstellung durch die Weierstrafs'schen elliptischen Funktionen trifft man, wenn man die Gleichung (2) benutzt.
Durch eine einfache Verlegung des Koordinatenanfangs verwandelt
diese sich in folgende andere:
y2 aoXa + 3 a x +...... (6)
Betrachten wir nun eine Funktion g, die mnit einer davon abgeleiteten
p' verbunden ist durch die Bezeichnung:
pz 4p3z + -3 — a p + Ca
~unrd setzt man ~^ -S4/
und setzt man
x= ~a.,, y- =,..... (7)
1) A. Harnack, Uber die Verwertung der elliptischen Funktionenz fiür die
Geometrie der Kurven dritten Grades (Math. Annalen, Bd. IX, 1876).
2),Collinearitit" bedeutet hier und in ähnlichen Fillen das Liegen auf
derselben Geraden.