Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Achtzehntes Kapitel: Kurven durch Lemniskatenbogen rektifizierbar. 391
und dies zeigt, dafs die Neigung der Normalen gegen den Radius
vector gleich dem Winkel a+4- ist, oder gleich seinem Supplementwinkel. Wenn man also, im ersten Falle, den Winkel PMN= P 0M
macht, so wird MN die Kurvennormale in M sein. Andererseits ist
MN die Tangente in M an den dem Dreiecke M OP umbeschriebenen
Kreis; daher wird die Gerade, welche M mit dem Centrum C dieses
Kreises verbindet, Tangente in M an die fragliche Kurve sein. Im
Falle, dafs der Neigungswinkel der Normalen gegen den Radius vector
= - (a + — ) wäre, müfste man das zu OMP in Bezug auf M
symmetrische Dreieck betrachten, um die vorigen Schlufsfolgerungen
zu erweitern, und gelangt so leicht zu dem Resultate: Ist ein fester
Punkt 0 gegeben und variiert das Dreieck OMP in der Weise,
dafs immer OM=a- i, M a, -1 = a 1 — 1, und dafs aufserdem
die unendlich kleine Verschiebung MM' des Punktes M immer in
der Richtung geschieht, die den Punkt 1 mit dem Mittelpunkte des
dem Dreiecke umbeschriebenen Kreises verbindet, so erzeugt der
Punkt M eine zur Zahl n gehörige elliptische Kurve I. Spezies.
Aus dem Vorhergehenden kann man entnehmen, dafs der Winkel E
zwischen der Kurvennormale und der Polaraxe durch s = p - (ca -+ )
gegeben wird. Demnach ist der Kontingenz-Winkel gegeben durch
de = dqp - (da c+ d) = (n - i)da - ndß, oder
3Q3 - (2n+- 1) do
dE ---
A e
daraus folgt, dafs der Krümmungsradius R gegeben ist durch
R 2n2(n++)jQ.
3 V3 -(2n+ 1)
die Wendepunkte der fraglichen Kurve liegen daher auf dem Kreise
um 0 mit dem Radius n1 1 ).
Achtzehntes Kapitel.
Algebraische Kurven, die vermittelst Lemniskatenbogen rektifizierbar sind. Die Sinusspiralen.
169. Da die Lemniskate durch spezielle elliptische Funktionen
rektifizierbar ist, so ist die Untersuchung derjenigen Kurven, die durch
Lemniskatenbogen rektifizierbar sind, nur ein spezieller Fall der im
vorigen Kapitel behandelten. Dennoch lohnt es der Mühe, sich mit
1) Bezügl. weiterer Untersuchungen über die elliptischen Kurven s. L.
Ki ep e rt, De curvis, quarum acrcus integralibus ellipticis primi generis exprimitur
(Dissert. Berlin, 1870).