Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

384 V. Abschnitt: Spezielle algebraische Kurven beliebiger Ordnung.
stellen in den Polarkoordinaten e und co eine algebraische Kurve
dar, die durch Kreisbogen rektifizierbar ist.
In einer der Akademie der Wissenschaften zu Petersburg am
20. Aug. 1823 vorgelegten Abhandlung hat N. Fufs die Bemerkung
gemacht, dafs man zu den obigen Kurven auch gelangt, wenn man
die Polargleichung derjenigen Kurven aufsucht, bei denen der Abstand des Poles von der Tangente durch a9 - -2 ausgedrückt wird,
wo a eine gegebene Länge bedeutet'). In der That läfst sich diese
Aufgabe alsbald auf folgende Differentialgleichung zurückführen
— ag - 9;
lldQ 2 dco -
um sie zu integrieren, schreibe man sie folgendermafsen - indem
man mit ds das Bogendifferential bezeichnet -
e' dco = (a - o)ds;
Man ersieht dann, dafs, weil
ds2 = dg2 + (^.ddo)2,
die vorige Gleichung ergiebt:
ds = -
1 - (a - o)2
daher ist s =- arc cos (a - 9) oder - == a - cos s;... (7)
die erstere beweist, dafs die gefundene Kurve durch Kreisbogen rektifizierbar ist.
Man hat ferner, infolge der vorhergehenden Formeln
a- 7 a-g d de
do -- ds === -- a -: e i_ — )2 -Vi- (a - - Q)2
dg do
d -e= - =a — - ds
/l -(ua - /) - (a - Q)
daher:
ei + s = a - -
j J i- -(a o)2
Es ergiebt sich nun, wenn a > 1, und wenn man
— a —....(8)
i 2- a- e
+ s=c Ve arc tgn ( ( 8 (9)
Diese Gleichungen im Verein mit (7) und (8) stellen die gesuchte
Kurve dar und zeigen, dafs sie von der Euler'schen nicht verschieden ist.
1) De curvis algebraicis, quarum singuli arcus arcubus circularibus aequantur
(M6m. de St. Petersb. XI, 1830).