Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

380 V. Abschnitt: Spezielle algebraische Kurven beliebiger Ordnung.
dioiden vom Grade 2n'). Ihre Bedeutung, die sie bisher in der
Geometrie erlangt haben, ist nicht derart, dafs wir uns veranlafst
sehen sollten, hier mehr als ihre Definition zu geben.
Sechzehntes Kapitel.
Allgemeines iber die Unterslehung
derjenigen algebraischen Kurven, deren Rektifikation von vorher
bestimmten Funktionen abhängt.
165. Liegt eine Kurve als gegeben vor, so lehrt uns die IntegralRechnung die Natur der Funktion kennen, die man anzuwenden hat,
um deren Rektifikation auszuführen. Erheblich schwieriger ist die umgekehrte Aufgabe, nämlich die Auffindung aller algebraischen Kurven,
deren Rektifikation vermittelst a priori bekannter Funktionen ausgeführt werden kann, oder, wenn man so sagen will, vermittelst Bogen
von gegebenen Kurven. Eben diesem allgemeinen Probleme hat Euler
viele Zeit und Mühe gewidmet2), indem er es zunächst auf eine Frage
der unbestimmten algebraischen Analysis zurückführte, und dann mit
jener wunderbaren Virtuosität in der Rechnung behandelte, die nur
vergleichbar ist mit ähnlichen Vermächtnissen, wie sie uns Diophant
in zahlentheoretischen Untersuchungen hinterlassen hat.
Das Euler'sche Problem kann man so ausdrücken:,Gegeben eine
Funktion V einer Variabelen v, zwei andere Funktionen x(v) und y(v)
aufzufinden, derart, dafs identisch
/dx2 + dy2 = V. dv."..... (1)
Eine Lösung (oder wenn man will eine Umgestaltung) des Problemes
erhält man, indem man, wenn U eine beliebige Funktion von u, und
A, B Konstanten sind, welche die Gleichung (1) identisch befriedigen,
alsdann setzt
-- V __ + v /y~B -u
dx= V -+fdv, dy = V u dv;
V1/A+B 1/A+B
1) J. Goettler, Conformne Abbildung eines von concentrischen gleichseitigen
Hyperbeln oder gewissen Kurven nzte Ordnung begrenzten Flächenstickes auf dem
Einheitskreis (München 1897).
2) Man sehe die drei Abhandlungen: De innumeris curvis algebraicis, quarum longitudinem per arcus parabolicos metiri licet (Nova Acta Petrop. V, 1789,
vorgelegt am 3. Juni 1776); De binis curvis algebraicis eadem rectificatione gaudentibus (Mem. de St. Petersbourg, XI, 1830, vorgelegt am 20. Aug. 1781); De
lineis curvis quarum rectificatio per datam quadraturam mensuratur (Leonhardi
Euleri opera postuma mathematica et physica, I, Petropoli 1862, S. 439 u. 452).