Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Fünfzehntes Kapitel: Geometrie der Polynome. 375
n Brennpunkten genannt'). Es ist klar, dafs die jetzt erhaltenen
allgemeinen Lemniskaten die orthogonalen Trajectorien der vorhin
definierten Hyperbeln sind2).
Wenn wir, statt von der Gleichung (6) auszugehen, die folgende
Gleichung - f(z)
F(z)
als Ausgangspunkt unserer Betrachtungen genommen hätten (wo f
und F zwei Polynome von z, die zu einander prim sind und vom
Grade m und n), so würden wir zu zwei neuen Klassen von Kurven
gelangen, die statt durch die Gleichungen (9) und (10) durch die
analogen Gleichungen
(SPi + g?2 + *. * * + g4) - (W, + ya +****+ ^) = Y
d.d'.... d
charakterisiert werden,, für die Holzmüller ebenfalls die Namen
iHyperbeln und Lemniskaten anwandte. Sie waren schon früher von
Darboux untersucht worden3), der einige schöne Eigenschaften derselben auffand; ferner hatte sich früher A. Genocchi4) mit dem
Falle beschäftigt, in welchem die festen Punkte die Ecken zweier
regelmäfsiger konzentrischer Polygone von derselben Seitenzahl sind,
indem er eine Art der Transformation der Figuren anwandte, die von
W. Roberts im Jahre 1842 erdacht wurde.
163. Zu den in der vorigen Nr. untersuchten Kurven kann
man auch gelangen und ist man auch thatsächlich gelangt, ohne auf
die Theorie der isogonalen Transformationen zurückzugehen, wenn
man als Ausgangspunkt eine der Eigenschaften nimmt, deren sich,
wie wir sahen, die regulären bezw. irregulären Hyperbeln erfreuen;
da diese Methode zu neuen Resultaten geführt hat, so können wir
nicht umhin, hier darauf hinzuweisen.
1) Note sur la rectification de la cassinoide ä n foyers (Liouvilles Journ.
XIII, 1848), daselbst sind die Kurven durch die Polargleichung dargestellt:
Osn-2 ann cosnco + a2n= -b2n, die sich recht gut zur Diskussion der Kurve
eignet; z. B. läfst sie erkennen, dafs, wenn man b variieren läfst, man ool Kurven
erhält, deren Wendepunkte auf einer Sinusspirale (vgl. Nr. 171) liegen, die durch
die Gleichung e + (n -- 1) an cos no == 0 dargestellt wird.
2) Auf Kurven dieser Art kommt man offenbar auch, wenn man die Örter
der Punkte einer Ebene sucht, in denen das Polynom zn+-p z-l _.... + Pin
ein gegebenes Argument, oder einen gegebenen Modul hat; sie sind die
courbes d'egale module und die courbes d'egal argument von HI. Laurent (These d'analyse sur la continuite des fonctions imaginaires et des series en
particulier, Metz 1865).
3) Sur une classe remnarquable de courbes et des surfaces algbriques (Paris
1873) S. 66-75.
4). Intorno alla rettificazione e alle proprietYä delle caustiche secondarie (Ann.
di Mat. VI, 1864).