Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

370 V. Abschnitt: Spezielle algebraische Kurven beliebiger Ordnung.
0 - r
cf=2-t
ax2 a y2r-2a
+ 2r 2 p) cos2a+_p_. sin_2_ _-l_ -__ =
und diese verwandelt sich, wenn man sich der Identitäten (3) und
der Multiplikationsformeln für die Bogen bedient, in folgende viel
einfachere a2rp _2__
cos 2r p + — sin2r p.- p 0
ax ax
Bezeichnet man nun mit Rt einen Wert des Winkels 2rep, welcher
dieser Gleichung genügt, so kann 4p folgende Werte annehmen
[ E+r tu+ 27Cr _-_(2_ —1)7
2 n 2r ' 2r 2r
die einander inkongruent (mod z) sind; es geht daraus hervor: Die
Tangenten an die Kurve P 0 in ihrem 2 r-fachen Punkte teilen
den vollen Winkel um P in 2r gleiche Teile. Dieselbe Eigenschaft
gilt für einen Punkt von ungerader Vielfachheit, und wird in ähnlicher Weise bewiesen.
Ist hingegen M(x, y) ein 2r-facher Punkt der Kurve Q(x, y)= 0,
so findet man bei Wiederholung der vorigen Rechnung statt der
Gleichung (4) die folgende
b2rQ i2rQ
-Sr cos 2 re Q Q- sin 2 r üQ = 0,
e2rcos2rQ- 2sin2r4=0,
welcher - wenn li dieselbe Bedeutung hat wie vorhin - durch folgende Werte von 4Q genügt wird:
t+ + L -+ t 2 + + + (2+ - )z
2 2, 2.. 2r
dies zeigt: Die Tangenten an die Kurve Q(x, y)= 0 im r-fachen
Punkte M erhält man, wenn man die entsprechenden Tangenten
der Kurve P(x, y) = 0 um den Winkel -x dreht. Ähnliches trifft
zu für einen Punkt von der Vielfachheit 2r - 1, jedoch ist die Gröfse
der entsprechenden Drehung 2 (2 1-l)
Die Betrachtung der Asymptoten der Kurven P = 0, Q = 0
führt zu einem ähnlichen Satze, wie der vorhergehende. Um ihn zu
1) Vor Walton waren diese Sätze schon von W. J. Macquor Rankine
bemerkt worden in der Abhandlung On curves fulfilling the eqzuation
cd2q d2cp
dx2 + dy2
(Proc. of the R. Soc. London, XIV, 1867; Phil. Mag. 1868).