Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Fünfzehntes Kapitel: Geometrie der Polynome. 369
dankt man den Namen Wurzel-Kurven (rhizic curves), mit dem sie
bezeichnet zu werden pflegen. Neuerdings wurden sie von E. Kanser
erforscht1), der sie algebraic potential curves nannte, da man,
wie bekannt, z/2P = und 2Q = — hat.
Sind rp und rQ die von den Tangenten an die Kurven (1), in
einem ihrer gemeinsamen Punkte M(x, y), gebildeten Winkel, so
wird sein: _ p ap d Q aQ
tgrp=-:X ay, tgv -: ayZ,
und da man bekanntlich hat
aP aQ aP + Q =
ay ax' O a - y + ~ '....
so ergiebt sich, dafs
tgrp tgr Q +- 1 O= 0.
Diese Gleichung beweist: Die beiden Kurven P-= 0, Q0 schneiden
sich in allen Punkten, die sie gemeinsam haben, unter rechtem
Winkel.
Differenzieren wir die Gleichungen (2), so ergeben sich daraus
leicht die folgenden:
a2rp 2rp. 2r-2 a X2Q
a2 r Q 2r Q
'2r p a 2r 1 q (3)
a791-. dy,2_,~ = (- 1)" ~
ax21 y2r2a-1 x / 2r
a2rQ 2r ap
ax. +l ay2r-2ae-1 (- a ) 2+
von denen wir alsbald Gebrauch machen werden. Wir nehmen
einmal an, dafs M(x, y) ein 2r-facher Punkt der Kurve P = 0 sei;
die Winkel 4p, welche die zugehörigen Tangenten mit der x-Axe
bilden, werden durch eine Gleichung bestimmt, die man symbolisch
folgendermafsen wiedergeben kann:
(cos OP + sin p -P(y 0,
wenn man darunter versteht, dafs, wenn die Potenz dieses Binoms
entwickelt ist, man im allgemeinen ( (i) P(y) ersetzt durch
p ^a PP( Y) Demnach ist jene Gleichung in Wirklichkeit äquivalent?x-. ayq
mit folgender anderen:
1) In einer bis heute dem Verf. unzugänglichen Abhandlung, die am
23. Febr. 1901 der American Mathematical Society vorgelegt wurde.
Loria, Ebene Kurven. 24